§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ

Следующим основным понятием анализа является понятие производной. Разберем две задачи, из решения которых оно исторически возникло.

Скорость. Во введении к этой главе мы уже определяли скорость свободно падающего тела. При этом мы пользовались предельным переходом

от средней скорости на малых участках пути к скорости в данном месте в данный момент. Тот же прием может быть положен в основу определения мгновенной скорости при любом неравномерном движении. В самом деле, пусть функция

выражает зависимость пройденного материальной точкой пути от времени Чтобы найти скорость в момент рассмотрим некоторый промежуток времени от до За это время точка пройдет путь

Средняя скорость на этом участке будет зависеть от

и тем точнее будет выражать истинную скорость в момент чем меньше будет Отсюда следует, что истинная скорость в момент равна пределу

отношения приращения пути к приращению времени, когда последнее стремится к нулю, оставаясь все время не равным ему.

Чтобы вычислять скорость при разных законах движения, остается научиться находить этот предел для разных функций

Касательная.

К отысканию совершенно аналогичного предела приводит другая, на этот раз геометрическая, задача — о проведении касательной к произвольной плоской кривой.

Пусть кривая С есть график функции и А — точка на кривой С с абсциссой (рис. 10). Какую прямую называть касательной к С в точке А? В элементарной геометрии этот вопрос не ставится. Для единственной изученной там кривой линии — окружности — касательная определялась как прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Но для других кривых подобное определение явно не будет соответствовать наглядному представлению о «касании». Так, из двух прямых и М, изображенных на рис. 11, первая, очевидно, не касается начерченной кривой (синусоиды), хотя имеет с ней всего одну общую точку, а вторая имеет с кривой много общих точек, но тем не менее касается кривой в каждой из них.

Чтобы дать определение касательной, рассмотрим на кривой С (рис. 10) еще одну, отличную от А, точку А с абсциссой Проведем секущую и обозначим угол, который она образует с осью через (3. Будем теперь приближать точку А по кривой С к 4. Если при этом секущая А А будет стремиться к некоторому предельному положению, то прямую Т, имеющую это предельное положение, и называют касательной в точке А. Очевидно, угол а, который образует с осью прямая Т, должен равняться пределу переменного утла 8.

Величину легко определить из треугольника (рис. 10):

Для предельного положения должно быть

т. e. тангенс угла наклона касательной равен пределу отношения приращения функции в точке к соответствующему приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю, оставаясь все время не равным ему.

Рис. 10.

Рис. 11.

Вот еще пример, сводящийся к отысканию аналогичного предела проводу течет ток переменной силы. Допустим, что известна функция выражающая количество электричества, прошедшее через фиксированное сечение провода за время За период от до через это сечение протекает количество электричества равное Средняя сила тока при этом равна

Предел этого отношения при даст нам силу тока в момент

Все три рассмотренные нами задачи, несмотря на то, что они относятся к различным областям человеческого знания: механике, геометрии, теории электричества, привели к одной и той же математической операции, которую нужно произвести над некоторой функцией. Надо найти предел отношений приращения функции к соответствующему приращению независимой переменной при Мы могли бы как угодно увеличить число самых разнообразных задач, решение которых сводится к подобной операции. К ней, например, приводит вопрос о скорости химической реакции,

о плотности неравномерно распределенной массы и др. Ввиду исключительной роли, которую играет эта операция над функцией, она получила особое название — операция дифференцирования функции. Результат этой операции носит название производной.

Итак, производная от функции точнее, значение производной в данной точке х, есть предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю. Часто обозначают тогда определение производной записывается кратко:

Значение производной очевидно зависит от точки х, в которой оно найдено. Поэтому производная функции есть в свою очередь некоторая функция от Производную принято обозначать так:

Отметим еще другие принятые обозначения производной:

Следует заметить, что обозначение в самой записи выглядит как дробь, хотя читается как единый знак производной. В следующих параграфах числитель и знаменатель этой «дроби» приобретут для нас самостоятельный смысл, причем их отношение как раз будет совпадать с производной, что вполне оправдывает такую запись.

Результаты рассмотренных выше примеров теперь можно сформулировать так.

Скорость точки, для которой пройденный путь есть данная функция времени равна производной этой функции:

Короче: скорость есть производная пути по времени.

Тангенс угла наклона касательной к кривой в точке с абсциссой х равен производной функции в этой точке:

Сила тока в момент если выражает количество электричества, прошедшее за время через сечение провода, равна производной

Сделаем следующее замечание. Скорость неравномерного движения в данный момент — это чисто физическое понятие, возникшее из практики. Человек пришел к нему в результате многочисленных наблюдений над различными конкретными движениями Изучение неравномерного движения

тела на различных участках его пути, сравнение различных таких движений, происходящих одновременно, в частности, изучение явлений столкновений -все это составляет практический материал, приведший к созданию физического понятия скорости неравномерного движения в данный момент. Но точное определение скорости необходимо должно включать в себя способ определения ее численной величины. Это оказывается возможным сделать при помощи понятия производной.

В механике, по определению, величина скорости тела, движущегося по закону в момент времени полагается равной производной от функции для значения

Рассуждения в начале этого параграфа, с одной стороны, показали целесообразность введения операции получения производной, а с другой — разумно обосновали сформулированное выше определение скорости в данный момент.

Таким образом, когда мы ставили вопрос об отыскании скорости движущейся неравномерно точки, мы, собственно говоря, имели только опытное представление о ее величине, но точного определения не имели. В результате соответствующего анализа мы пришли к точному определению величины скорости в данный момент — это производная от пути по времени. Полученный результат имеет весьма важное практическое значение, так как на основе этого определения наше опытное представление о скорости обогатилось еще возможностью ее вычисления.

Сказанное, разумеется, относится и к силе тока и ко многим другим понятиям, выражающим скорость того или иного процесса (физического, химического и т.

Обстоятельство, которое мы сейчас отметили, может служить примером многочисленных фактов подобного рода, когда практика приводит к определенному понятию, имеющему реальный смысл (скорость, работа, плотность, площадь и т. д.), а математика помогает это понятие четко определить, после чего мы получаем возможность оперировать данным понятием в нужных нам расчетах.

Мы уже отмечали в начале главы, что понятие производной возникло прежде всего как результат многовековых усилий, направленных к решению задачи о проведении касательной к кривой и [нахождению скорости неравномерного движения. Подобные задачи и задача о вычислении площади, о которой речь будет впереди, интересовали математиков с древних времен. Все же еще в XVI в. постановка таких задач и методы их решения носили глубоко частный характер. Накопившийся в этом направлении обширный материал был приведен в систему и получил теоретическое завершение уже в XVII в. - в работах Ньютона и Лейбница. Очень большой вклад при построении основ современного анализа был внесен Эйлером.

Впрочем Ньютон и Лейбниц и их современники логически мало обосновывали эти великие математические открытия; в способах их

рассуждения и в понятиях, которыми они оперировали, с нашей точки зрения можно найти много неясного; да и сами Математики того времени это сознавали, о чем свидетельствуют ожесточенные дискуссии, которые происходили по этим вопросам между ними в письмах друг к другу. Математики того времени (XVII—XVIII вв.) особенно тесно связывали свою чисто математическую деятельность с исследовательской деятельностью в различных областях природы (физика, механика, химия, техника). Постановка математической задачи исходила, как правило, из практических потребностей или из желания разобраться в том или ином явлении природы. После того как задача была решена, она так или иначе подвергалась практической проверке, и именно это обстоятельство позволяло целесообразно направлять математические исследования.