Нахождение производной функции от функции.

Нам осталось рассмотреть последнее, наиболее трудное правило дифференцирования. Владеющий этим правилом и таблицей может с полным основанием считать, что он сумеет продифференцировать любую элементарную функцию,

Чтобы применять правило, которое мы здесь дадим, нужно совершенно четко представлять себе, как устроена функция, которую требуется продифференцировать, какие действия (операции) и в каком порядке надо, исходя от независимой переменной произвести, чтобы, в конце концов, получить функцию у»

Например, чтобы вычислить функцию

надо сначала возвести х в квадрат, а затем от полученной величины найти синус. Это можно записать следующим образом: , где

Напротив, для вычисления функции

надо сначала найти синус от а затем полученное значение возвести в квадрат, что можно записать так: где

Вот еще примеры:

В более сложных случаях получается цепочка простых зависимостей, имеющая несколько звеньев. Например

Если у есть функция от переменной и

а и в свою очередь есть функция От переменной х

то у, будучи функцией от и, есть некоторая функция от , которую мы обозначим так:

Усложняя этот процесс, можно образовать, например, функцию

которая эквивалентна равенствам

или получить еще более сложную функцию, сводящуюся к цепочке подобных равенств.

Мы сейчас покажем, как вычислить производную от функции определяемой равенством (20), если известны производная от по и и производная от по

Дадим х приращение тогда и получит в силу равенства (19) некоторое приращение а у в силу равенства (18) — приращение . Можно написать

Пусть теперь стремится к нулю. При этом их. Далее, вследствие непрерывности и, приращение и потому (суще-ствование производных и их было предположено).

Этим доказана важная формула производной функции от функции

Вычислим, воспользовавшись формулой (21) и основной таблицей производных (см. стр. 114), производные от функций, приведенных выше в качестве примеров:

Если

то

Ясно, как обобщается эта формула в случае любого (конечного) числа входящих в цепочку функций.

Пример.

Чтобы пояснить, как вычисляются производные функции от функций, мы вводили промежуточные переменные На самом деле, после некоторой тренировки можно освободиться от этого, держа эти обозначения в уме.

Элементарные функции. Заканчивая этот параграф, отметим, что функции, список производных которых был приведен выше в виде, таблицы,

можно положить в основу определения так называемых элементарных функций. Именно все функции, которые получаются из этих простейших функций с помощью четырех арифметических действий и операций функции от функции, примененных конечное число раз, называются элементарными.

Например, многочлен есть элементарная функция, так как она получается из нескольких функций вида при помощи арифметических операций. Функция тоже элементарная, так как она получается из многочлена при помощи операции а затем операции

Изложенных выше правил дифференцирования достаточно, чтобы найти производную любой элементарной функции, зная производные простейших элементарных функций.