Формула Остроградского.

Очень важные зависимости между интегралом по некоторому объему (или области) и интегралом по поверхности этого объема (или границе области) были в весьма общем виде обнаружены в середине прошлого столетия М. В. Остроградским.

Не ставя себе целью доказать здесь общую формулу Остроградского, имеющую самое широкое применение, попробуем на примере пояснить эту формулу в ее наиболее простом частном случае.

Представим себе, что по плоской поверхности грунта течет установившийся поток воды, причем часть воды все время просачивается в грунт или поступает из грунта. Выделяем некоторую область ограниченную контуром Г, и предполагаем известными для каждой точки этой области составляющие скорости воды в направлениях оси и оси

Подсчитаем, с какой интенсивностью вблизи точки с координатами вода поступает из грунта. Для зтого рассмотрим маленький прямоугольник со сторонами прилегающий к точке

Благодаря составляющей скорости через левую вертикальную границу этого участка в него втекает за минуту приближенно единиц воды, а через правую границу за то же время вытекает приближенно единиц воды. В общем на единицу площади через левую и правую вертикальные границы квадратика вытекает приближенно количество воды, равное

Если заставить Да: стремиться к нулю, то получим в пределе

Соответственно интенсивность, с которой вода вытекает из малого участка в направлении оси выразится величиной

Значит, интенсивность выделения грунтовой воды в точке с координатами будет равна

Общее же количество поступающей из грунта воды равняется, как мы уже убедились раньше, двойному интегралу от функции, выражающей интенсивность выделения грунтовой воды в каждой точке, т. е.

Все это количество воды должно вытекать за то же время из пределов контура Г. Но количество воды, вытекающей через контур Г, как мы видели, выражается криволинейным интегралом по Г

Равенство величин (52) и (53) и выражает собой формула Остроградского в ее простейшем двухмерном случае

Мы только пояснили смысл зтой формулы на физическом примере. Она может быть доказана математически.

Таким образом, математическая теорема Остроградского отражает определенную закономерность действительности, которую мы в нашем примере наглядно воспринимаем как баланс сохранения количества несжимаемой жидкости.

М. В. Остроградский доказал значительно более общую формулу связи интеграла по многомерному объему с интегралом по его границе. В частности, для трехмерного тела ограниченного поверхностью Г, эта формула принимает вид

где элемент поверхности.

Интересно отметить, что основную теорему интегрального исчисления

можно, рассматривать как одномерный случай формулы Остроградского. Равенство (54) связывает интеграл по отрезку с «интегралом» по его «нульмерной» границе, состоящей из двух концевых точек.

Формулу (54) можно пояснить следующей аналогией. Вообразим, что в прямой трубе с постоянным сечением течет вода со скоростью различной в разных сечениях (рис. 36). Через пористые стенки трубы в нее (или из нее) с различной интенсивностью в разных сечениях просачивается вода извне.

Рис. 36.

Если рассмотреть участок от х до то количество воды, просачивающейся за единицу времени на этом участке в трубу, должно компенсировать разницу между количеством вытекающей и количеством втекающей в этот участок вдоль трубы воды. Поэтому количество просачивающейся на этом участке воды совпадает с разностью , а интенсивность выражающая отношение количества просачивающейся на бесконечно малом участке воды к длине этого участка, будет равна:

Общее количество воды, втекающей в трубу на участке и вытекающей из нее, должно быть одинаковым. Но через стенки втекает количество, равное а вдоль трубы через границы участка вытекает количество . Равенство этих величин и выражает как раз формула (54).