Формулы аффинных преобразований.

Если — аффинно преобразуемый репер, его образ, и координаты нового начала О относительно старого репера суть а координаты векторов в и в относительно него то формулы аффинного преобразования, как легко видеть из рис. 77, суть

в том смысле, что если х, у — координаты любой точки М относительно старого репера , то выражаемые этими формулами, суть координаты по отношению к тому же старому реперу образа М этой точки.

Действительно, пусть преобразуемый репер, его образ, М — какая-нибудь преобразуемая точка плоскости, а ее образ. Тогда в силу самого определения аффинного преобразования, если координаты точки М относительно репера Оеге. суть то координаты ее образа по отношению к образу этого репера — те же самые х, у.

Рассмотрим теперь вектор идущий из начала О преобразуемого репера в образ М точки М. Тогда Но этот вектор равен векторной сумме

а векторы суть

и, следовательно,

или

Сравнивая полученное выражение с первым выражением длят, получаем

Определитель

как можно доказать, будет не равен нулю и равен отношению площади параллелограма, построенного на векторах нового репера, к площади такого же параллелограма, построенного на векторам старого.

Рис. 77.

Аналогичные формулы получаются для пространства

где — координаты начала преобразованного репера — координаты его векторов относительно преобразуемого репера

Определитель

не равен нулю и равен отношению объема параллелепипеда, построенного

на векторах нового репера, к объему параллелепипеда, построенного на векторах исходного репера.