Действительно, пусть преобразуемый репер, его образ, М — какая-нибудь преобразуемая точка плоскости, а ее образ. Тогда в силу самого определения аффинного преобразования, если координаты точки М относительно репера Оеге. суть то координаты ее образа по отношению к образу этого репера — те же самые х, у.
Рассмотрим теперь вектор идущий из начала О преобразуемого репера в образ М точки М. Тогда Но этот вектор равен векторной сумме
а векторы суть
и, следовательно,
или
Сравнивая полученное выражение с первым выражением длят, получаем
Определитель
как можно доказать, будет не равен нулю и равен отношению площади параллелограма, построенного на векторах нового репера, к площади такого же параллелограма, построенного на векторам старого.
Рис. 77.
Аналогичные формулы получаются для пространства
где — координаты начала преобразованного репера — координаты его векторов относительно преобразуемого репера
Определитель
не равен нулю и равен отношению объема параллелепипеда, построенного
на векторах нового репера, к объему параллелепипеда, построенного на векторах исходного репера.