Свойство касательной к параболе.

Рассмотрим одно важное свойство касательной параболе и его приложение в оптике. Так как для параболы то для т. е. производная, или, что то же самое, тангенс угла наклона касательной к оси равен (рис. 25).

Рис. 25.

С другой стороны, непосредственно из чертежа следует:

Но

а так как то Поэтому луч света, исходящий из фокуса F и отражающийся от элемента параболы, направление которого совпадает с направлением касательной, в силу закона: угол падения равен углу отражения, отражается дальше параллельно оси т. е. параллельно оси симметрии параболы.

Рис. 26.

Рис. 27.

На этом свойстве параболы основано изготовление отражательных телескопов, придуманных Ньютоном. Если изготовить вогнутое зеркало, поверхность которого представляет собой так называемый параболоид вращения, т. е. поверхность, получаемую от вращения параболы вокруг ее оси симметрии, то все лучи света, исходящие от какой-либо точки небесного светила, находящейся строго в направлении «оси» зеркала, соберутся зеркалом (рис. 26) в одну точку — в фокус зеркала. Лучи, идущие от какой-нибудь другой точки небесного светила, уже не совсем параллельные оси зеркала, соберутся также почти в одну точку около фокуса. Таким образом, в так называемой фокальной плоскости, т. е. плоскости, проходящей через фокус зеркала и перпендикулярной к его оси, будет получаться обратное изображение светила, и при этом чем

дальше от фокуса, тем более размытое, так как лишь лучи, строго параллельные оси зеркала, собираются зеркалом в одну точку; лучи же, не совсем параллельные оси, собираются не совсем в одну точку. Получившееся изображение можно рассматривать в специальный микроскоп, так называемый окуляр телескопа, непосредственно или, чтобы не заслонять светила своей головой, повернув лучи небольшим плоским зеркалом, которое прикреплено в телескопе около фокуса (несколько ближе, чем фокус, к вогнутому зеркалу) под углом в 45° к оси этого зеркала.

Рис. 28.

Рис. 29.

На рассмотренном свойстве параболы основано также устройство прожекторов (рис. 27). В них, наоборот, сильный источник света помещают в фокусе параболического зеркала, и тогда лучи его, отразившись от зеркала, идут далее пучком, параллельным его оси. Так же устроены автомобильные фары (рис. 28).

Рис. 30.

В случае эллипса, как легко доказать, лучи, исходящие из одного из его фокусов и отразившиеся от эллипса, собираются в другом фокусе (рис. 29), а в случае гиперболы лучи, исходящие из одного из ее фокусов и от нее отразившиеся, как бы исходят из другого фокуса (рис. 30).