§ 2. АРИФМЕТИКА

1. Понятие о числе (мы говорим пока только о целых положительных числах) — это понятие, такое для нас привычное, вырабатывалось очень медленно. Об этом можно судить хотя бы по тому, как считали народы, еще совсем недавно стоявшие на разных ступенях первобытно-общинного строя. У некоторых из них не было даже названий для чисел больше двух или трех, у других счет шел дальше, но так или иначе он сравнительно быстро кончался, и о большем числе они говорили просто - «много» или «неисчислимо». Это показывает, что запас ясно различаемых чисел накапливался у людей постепенно.

Вначале люди не имели понятия о числе, хотя и могли по-своему «удить о размерах той или иной совокупности вещей, встречавшейся в их

практике. Надо думать, что число воспринималось ими непосредственно как неотъемлемое свойство совокупности предметов, которое, однако, еще ими явно не выделялось. Мы настолько привыкли к счету, что едва ли можем себе это представить, но понять это можно

На более высокой ступени число уже указывается как свойство совокупности предметов, но еще не отделяется от нее как «отвлеченное число», как число вообще, не связанное с конкретными предметами. Это видно из таких названий чисел у некоторых народов, как «рука» для пяти, «весь человек» — для двадцати и т. п. Здесь пять понимается не отвлеченно, а просто как «столько же, сколько пальцев на руке», двадцать — как «столько же, сколько всех пальцев у человека» и т. п. Совершенно аналогично у некоторых народов не было, например, понятий «черный», «твердый», «круглый». Чтобы сказать, что предмет черный, они сравнивали его, допустим, с вороном, а чтобы сказать, что имеется пять предметов, они прямо сравнивали эти предметы с рукой. Бывало и так, что разные названия чисел употреблялись для разного рода предметов: одни числа для счета людей, другие для счета лодок и т. д. до десяти разных сортов чисел. Тут нет отвлеченных чисел, они являются как бы «именованными», относящимися только к определенному роду предметов. У других народов вообще нет отдельных названий для чисел, например нет слова «три», хотя они могут сказать: «три человека», «в трех местах» и т. п.

Аналогично этому мы легко говорим, что тот или иной предмет черный, но гораздо реже говорим о «черноте» самой по себе, — это понятие представляется более абстрактным.

Число предметов есть свойство некоторой их совокупности, число же, как таковое, иными словами «отвлеченное число», есть это свойство, отвлеченное от конкретных совокупностей и мыслимое уже само по себе, подобно «черноте», «твердости» и т. п. Как чернота есть общее свойство предметов цвета угля, так число «пять» есть общее свойство всех совокупностей, содержащих столько же предметов, сколько пальцев на руке.

При этом сама равночисленность устанавливается простым сравнением: беря предмет из совокупности, мы загибаем один палец и так пересчитываем их по пальцам. Вообще сопоставлением предметов двух совокупностей можно, вовсе не пользуясь числами, установить, одинаковое ли в них число предметов. Так, гости, рассаживаясь за столом и ничего не считая, легко поправляют хозяйку, если она забыла один прибор: один гость остался без прибора.

Таким образом, можно дать следующее определение числа: каждое отдельное число, как «два», «пять» и т. п., есть свойство совокупностей предметов, общее для всех совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному, и различное у таких совокупностей, для которых такое сопоставление невозможно.

Для того чтобы обнаружить и ясно выделить это общее свойство, т. е. для того чтобы образовать понятие о том или ином числе и дать ему название «шесть», «десять» и т. д., нужно было сравнить между собой немало совокупностей предметов. Люди считали на протяжении долгих поколений, миллионы раз повторяя одни и те же операции, и так на практике обнаруживали числа и отношения между ними.

2. Действия, операции над числами возникали, в свою очередь, как отражение реальных действий над конкретными предметами. Это заметно и в названиях чисел. Так, например, у некоторых индейцев число «двадцать шесть» произносится, как «на два десятка я кладу сверху шесть». Ясно, что здесь отражается конкретный способ пересчитывания предметов. Тем более ясно, что сложение чисел соответствует складыванию, соединению двух или нескольких совокупностей в одну. Так же легко видеть конкретный смысл вычитания, умножения и деления (умножение, в частности, в большой мере происходит, видимо, от счета равными совокупностями: по 2, по 3 и т. п.).

В процессе счета люди открывали и усваивали не только связи между отдельными числами, как, например, то, что два и три будет пять, но устанавливали постепенно и общие законы. На практике обнаруживалось, что сумма не зависит от порядка слагаемых или что результат счета данных предметов не зависит от того, в каком порядке этот счет производится. (Это последнее обстоятельство находит выражение в совпадении «порядковых» и «количественных» чисел: первый, второй и т. д. и один, два и т. д.) Таким образом, числа выступали не как отдельные и независимые, а в связи друг с другом.

Одни числа выражаются через другие даже в названиях и записи. Так, «двадцать» означает «два (раза) десять», по-французски 80 — «четыре-двадцать» (quatre-vingt), 90-«четыре-двадцать-десять», а, например, римские цифры VIII, IX означают, что 8=5+3, 9 = 10-1.

В общем, возникали не просто отдельные числа, а система чисел с ее связями и законами.

Предмет, арифметики составляет именно система чисел с ее связями и законами. Отдельное отвлеченное число само по себе не имеет содержательных свойств, и о нем вообще мало что можно сказать. Если мы спросим себя, например, о свойствах числа 6, то заметим, что 6=5+1, 6=3-2, что 6 есть делитель 30 и т. п. Но здесь всюду число 6 связывается с другими числами, так что свойства данного числа состоят именно в его отношениях к другим числам. Тем более ясно, что всякое арифметическое действие определяет связь, или, иными словами, отношение между числами.

Таким образом, арифметика имеет дело с отношениями между числами. Но отношения между числами являются отвлеченными образами реальных количественных отношений между совокупностями предметов, поэтому можно сказать, что арифметика есть Наука о реальных количественных отношениях, рассматриваемых, однако, отвлеченно, так сказать, в чистом виде.

Арифметика, как мы видим, происходит не из чистого мышления, как стараются изобразить идеалисты, а отражает определенные свойства реальных вещей; она возникла в результате долгого практического опыта многих поколений.»

3. Чем обширнее и сложнее становилась общественная практика, тем более широкие задачи она ставила. Нужно было не только отмечать количество предметов и обмениваться мыслями об их числе, что уже потребовало формирования понятия числа и названий чисел, но надо было учиться считать все бблыдие совокупности (будь то животные в стаде, предметы при обмене, дни до намеченного срока и т. п.), фиксировать и передавать другим результаты счета, что как раз и требовало совершенствования названий, а затем и обозначений для чисел.

Введение обозначений для чисел, идущее, повидимому, от самого зарождения письменности, сыграло громадную роль в развитии арифметики. Кроме того, это был первый шаг к математическим знакам и формулам вообще. Следующий шаг, состоявший во введении знаков для арифметических действий и буквенного обозначения для неизвестного был сделан гораздо позже.

Понятие числа, как всякое абстрактное понятие, не имеет одного непосредственного образа, его нельзя представить, а можно только мыслить. Но мысль оформляется в языке, поэтому без названия нет и понятия.

Обозначение есть то же название, только не звуковое, а письменное, и оно воспроизводится мыслью в виде зрительного образа. Например, если я скажу «семь», что вы представляете? Вероятно, не семь каких-нибудь предметов, а прежде всего цифру «7»; она и служит материальной оболочкой для отвлеченного числа «семь». А такое число, как, например, 18 273, заметно труднее произнести, чем написать, и уж вовсе нельзя с полной точностью представить себе в образе совокупности предметов. Таким образом, обозначения помогли, хотя и не сразу, создать понятие о таких числах, которых уже нельзя было обнаружить в простом наблюдении и непосредственном пересчитывании. В зтом была практическая необходимость: с появлением государства нужно было собирать подати, собирать и снабжать войско и т. п., что требовало операций с очень большими числами.

Итак, во-первых, роль обозначений для чисел состоит в том, что они дают простое воплощение понятия отвлеченного числа. Такова роль математических обозначений вообще: они дают воплощение отвлеченных математических понятий. Так, + означает сложение, х — неизвестное число, а — любое данное число и т. д. Во-вторых, обозначения чисел дают возможность особенно просто осуществлять действия над ними. Каждый знает, насколько легче «подсчитать на бумаге», чем «в уме». Такое же значение имеют математические знаки и формулы вообще: они позволяют заменять часть рассуждений выкладками, т. е. чем-то почти механическим. К тому же, если выкладка написана, она имеет уже определенную достоверность. Тут все видно, все можно проверить, все определяется точными правилами. Для примера можно вспомнить сложение «столбиком» или любое алгебраическое преобразование, как, например, «перенесение в другую часть равенства с изменением знака».

Из сказанного ясно, что без подходящих обозначений для чисел арифметика не могла бы продвинуться далеко вперед. Тем более современная математика была бы просто невозможна без специальных знаков и формул.

Само собой понятно, что люди далеко не сразу смогли выработать современный, столь удобный, способ записи чисел. С древних времен у разных народов с начатками культуры появлялись разные числовые обозначения, мало похожие на наши современные не только по начертанию знаков, но и по принципам; не всюду, например, пользовались именно десятичной системой (так, у древних вавилонян была смешанная десятичная и шестидесятиричная система). На прилагаемой таблице показаны для примера

(кликните для просмотра скана)

некоторые из обозначений чисел у разных народов. В частности, мы видим, что древние греки, а потом и русские пользовались алфавитными обозначениями. Наши современные «арабские» цифры и вообще способ записи чисел происходят из Индии, откуда они были занесены арабами в X в. в Европу, где окончательно укоренились в течение нескольких столетий.

Первая особенность нашей системы состоит в том, что она десятичная. Но особенность эта не очень существенная, потому что можно было бы пользоваться с успехом, скажем, двенадцатиричной системой, введя особые обозначения для десяти и одиннадцати.

Главная особенность нашей системы обозначений состоит в том, что она — «позиционная», т. е. в ней одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от занимаемого места. Так, например, в обозначении 372 цифра 3 обозначает число сотен, а 7 - число десятков. Такой способ записи не только краток и прост, но крайне облегчает вычисления. Римские обозначения куда менее удобны: то же число 372 запишется по-римски так: CCCLXXII, а умножать большие числа, записанные по-римски, совсем неудобно.

Позиционная запись чисел требует, чтобы как-то отмечался пропущенный разряд, так как если его не отмечать, то мы будем путать, например, триста один и тридцать один. На месте пропущенного разряда ставится нуль; так мы различаем 301 и 31. В зачаточном виде нуль появляется-уже в поздних вавилонских клинописях. Систематическое введение нуля было достижением индийцев х: оно-то и позволило им довести до конца позиционную систему записи чисел, которой мы сейчас пользуемся.

Но этого мало: нуль стал тоже числом, войдя в систему чисел. Сам по себе нуль есть ничто — на санскритском (древнеиндийском) языке он так и Называется: «пустой» , но в связи с другими числами нуль приобретает содержание, приобретает известные свойства, — хотя бы то, что любое число плюс нуль есть то же число, а умноженное на нуль есть нуль.

4. Вернемся к арифметике древних. Старейшие дошедшие до нас математические тексты из Вавилона и Египта восходят ко второму тысячелетию до н. э. Эти и более поздние тексты содержат разнообразные арифметические задачи с решениями, и притом даже такие, которые относятся теперь к алгебре, как решения некоторых квадратных и даже кубических уравнений или прогрессии (все это, конечно, на конкретных задачах и численных примерах). Из Вавилона дошли до нас также таблицы квадратов, кубов и обратных чисел. Есть предположение, что там уже складывались математические интересы, не связанные непосредственно с отдельными практическими задачами.

Во всяком случае в древнем Вавилоне и Египте арифметика была хорошо развита. Но она не была еще математической теорией чисел, а набором правил счета и решения различных задач. Так, впрочем, преподают арифметику в начальной школе по настоящее время и так же понимают ее все, кто не занимался специально математикой. Это вполне законно, но все же в таком виде арифметика не есть еще математическая теория: в ней нет общих теорем о числах.

Переход к теоретической арифметике происходил постепенно.

Обозначения, как мы говорили, дают возможность оперировать с такими большими числами, которые уже нельзя наглядно представить в виде совокупности предметов и до которых нельзя дойти, считая подряд от единицы. Если у диких племен числа обрываются на 3, 10, 100 и т. п., а дальше следует неопределенное «много», то обозначения дали возможность в Китае, Вавилоне, Египте идти за десятки тысяч и даже за миллионы. Тут уже намечалась возможность неограниченного продолжения числового ряда. Но ясно осознана она была не сразу, когда точно, мы но знаем. Еще Архимед (287-212 гг. до н. э.) в своем знаменитом сочинении «Об исчислении песка» указывал способ назвать число, большее числа песчинок, которое могло бы уместиться в «шаре неподвижных звезд». Возможность назвать и записать такое число, стало быть, еще требовала в то время подробного разъяснения.

Греки к III веку до н. э. уже ясно осознали две важные идеи: во-первых, что ряд чисел можно неограниченно продолжать, и, во-вторых, что можно не только оперировать с любыми данными числами, но и рассуждать о числах вообще, формулируя и доказывая общие теоремы о числах. Это было обобщением огромного предшествующего опыта в оперировании с конкретными числами. Именно из этого опыта выявились общие законы и приемы общих рассуждений о числах. Произошел переход на более высокую ступень абстракции: от отдельных данных (хотя и отвлеченных) чисел к числу вообще, к любому возможному числу.

От простого процесса пересчитывания предметов по одному мы переходим к представлению о неограниченном процессе образования чисел путем прибавления единицы к ранее построенному числу. Ряд чисел мыслится уже неограниченно продолжаемым, и с ним в математику вступает бесконечность. Конечно, мы фактически не можем путем прибавления единиц зайти сколь угодно далеко в ряду чисел: кто сможет досчитать до миллиона миллионов, если даже сто лет содержат почти в 40 раз меньше секунд? Но не в том дело. Процесс накопления единиц, процесс образования сколь угодно больших совокупностей предметов принципиально не ограничен, и, стало быть, есть потенциальная возможность неограниченного продолжения числового ряда. Практическая ограниченность счета тут не при чем, от нее отвлекаются. Общие теоремы о числах касаются уже этого неограниченно продолжаемого ряда чисел.

Общие теоремы о каком-либо свойстве любого числа уже содержат в скрытом виде бесконечно много утверждений о свойствах отдельных чисел и качественно богаче каких-либо частных утверждений, которые можно было бы проверить для отдельных чисел. Поэтому общие теоремы необходимо должны доказываться путем общих рассуждений, исходящих из самого закона образования ряда чисел. Здесь открывается глубокая особенность математики: математика имеет своим предметом не только данные количественные отношения, но вообще возможные количественные отношения и, стало быть, бесконечность.

В знаменитых «Началах» Эвклида, написанпых в III в. до н. э., есть уже общие теоремы о целых числах, в частности теорема о том что существуют сколь угодно большие простые числа.

Так арифметика превращается в теорию чисел. Она уже отвлекается от конкретных частных задач и вращается в области отвлеченных понятий и рассуждений. Она становится частью «чистой» математики-. Вернее, это и был момент рождения самой чистой математики со всеми ее особенностями, о которых шла речь в п. 1. Нужно, правда, заметить, что чистая математика рождалась одновременно из арифметики и геометрии. Кроме того, в общих правилах арифметики имелись уже зачатки алгебры, которая отделилась от арифметики позже. Но об этом мы будем говорить ниже.

Теперь же остается только подвести итоги всех наших выводов, потому что мы хотя и очень бегло, но все же проследили процесс возникновения теоретической арифметики от самого зарождения понятия о числе.

5. Поскольку рождение теоретической арифметики было частью рождения математики, мы, естественно, можем ожидать, что наши выводы об арифметике осветят общие вопросы, касающиеся математики вообще. Вспомним эти вопросы, применяя их к арифметике.

1° Как возникают и что отражают в действительности отвлеченные понятия арифметики?

На этот вопрос отвечает все, что было рассказано о зарождении арифметики. Ее понятия отражают количественные отношения совокупностей предметов. Возникали эти понятия путем абстракции, на основе анализа и обобщения громадного практического опыта. Они возникали при этом постепенно; сначала числа, связанные с конкретными предметами, потом отвлеченные числа и, наконец, понятие о числе вообще, о любом возможном числе. Каждая из этих ступеней подготовлялась накоплением опыта с применением предыдущих понятий. (Таков, кстати, один из основных законов образования математических понятий: они рождаются путем последовательного ряда абстракций и обобщений, опирающихся па накопленный опыт применения предшествующих отвлеченных понятий).

История возникновения понятий арифметики доказывает всю ошибочность идеалистических взглядов о том, будто эти понятия происходят из «чистого мышления», из «первоинтуиции», из «созерцания в априорных формах» и мало ли еще из чего.

2° Почему выводы арифметики представляются такими убедительными и непреложными?

История отвечает нам и на этот вопрос. Мы видим, что сами выводы арифметики вырабатывались медленно и постепенно; они отражают опыт, накапливавшийся в течение необозримо долгих поколений и таким путем закреплявшийся в сознании людей. Они закреплялись в языке: в названиях чисел, в обозначениях, в постоянном повторении одинаковых операций с числами, в постоянном их практическом применения. Так они приобрели ясность и убедительность. Самые приемы логических рассуждений имеют то же происхождение. При зтом существенной является не только сама повторяемость, но и та устойчивость и четкость, которыми объективно обладают отношения действительности, отраженные в основных понятиях арифметики и в правилах логического вывода.

В этом корень убедительности арифметики; ее выводы логически вытекают из ее основных понятий, а то и другое — приемы логики и понятия арифметики — вырабатывались и закреплялись в сознании на основе тысячелетней практики, на основе объективных закономерностей окружающего нас мира.

3° Почему арифметика при всей отвлеченности ее понятий имеет такие широкие приложения?

Ответ прост. Понятия и выводы арифметики, обобщая огромный опыт, выражают в отвлеченной форме такие отношения действительности, которые встречаются постоянно и повсюду. Считать можно и вещи в комнате, и звезды, и людей, и атомы... Арифметика берет некоторые из общих свойств, отвлекаясь от всего частного и конкретного. И именно в силу того, что она берет только это общее, ее выводы приложимы в такой массе случаев. Стало быть, возможность широких приложений обеспечивается именно отвлеченностью арифметики. (При этом важно, что отвлеченность эта не пустая, а извлечена из долгого практического опыта.) То же верно в отношении всей математики, в отношении любого отвлеченного понятия или теории. Возможности приложения теории зависят от того, сколь широкий исходный материал в ней обобщен.

Одновременно всякое отвлеченное понятие, в частности понятие о числе, ограничено в своем значении вследствие той же самой своей отвлеченности. Во-первых, в применении к любому конкретному предмету оно отражает только одну его сторону и поэтому дает о нем очень неполное представление. Как часто, например, бывает, что одни численные данные еще очень мало говорят по существу дела. Во-вторых, отвлеченные понятия нельзя применять всюду без каких бы то ни было условий, нельзя применять арифметику к конкретным задачам, не убедившись в том, что ее применение

имеет здесь смысл. Если мы, например, говоримо сложении, соединяя предметы только мысленно, то, конечно, с самими предметами ничего не происходит. Но если мы применяем сложение к фактическому соединению предметов, если мы фактически складываем предметы, например, сваливая их в кучу или расставляя на столе, то здесь происходит не просто отвлеченное сложение, а реальный процесс. Этот процесс не только не исчерпывается арифметическим сложением, но может сделать его вообще неприменимым. Например, сваливаемые в кучу предметы могут ломаться; звери, посаженные вместе, могут растерзать один другого; «складываемые» вещества могут вступить в химическую реакцию: литр воды и литр спирта дадут при слиянии не 2, а 1,9 литра смеси вследствие взаимного растворения этих жидкостей, и т. п.

Нужны ли другие примеры? Их можно привести сколько угодно.

Короче, истина конкретна; и помнить это особенно важно в отношении математики, как раз из-за ее отвлеченности.

4° Наконец, последний вопрос, который мы ставили, касался движущих сил развития математики.

Для арифметики ответ на этот вопрос также ясен из истории ее возникновения. Мы видели, что люди на практике овладевали счетом и вырабатывали понятие о числе; потом практика потребовала обозначений для чисел, поставила более трудные задачи. Словом, движущей силой развития арифметики служила общественная практика. При этом она выступает в постоянном взаимодействии с обобщающим ее опыт отвлеченным мышлением. Возникающие на основе практики отвлеченные понятия делаются важным ее орудием и совершенствуются в своем применении. Отвлечение от несущественного помогает при этом вскрывать суть дела и обеспечивает общее решение там, где определяющую роль играют как раз выделенные и сохраненные при отвлечении общие свойства и связи, — таковы количественные связи в случае арифметики.

Кроме того, мышление зачастую уходит дальше того, что непосредственно требует поставленная практикой задача. Так, понятие о больших числах, как миллион или миллиард, возникло на базе счета, но раньше, чем явилась практическая потребность пользоваться такими числами. Таких примеров не мало в истории науки; достаточно вспомнить мнимые числа, о которых мы уже упоминали. Все это лишь частный случай общего всему познанию взаимодействия практики и абстрактного мышления, практики и теории.