Теория Галуа.

Однако и это было еще не все. Самое замечательное в теории алгебраического уравнения еще оставалось впереди. Дело в том, что есть сколько угодно частных видов уравнений всех степеней, которые решаются в радикалах, и как раз уравнений, важных во многих приложениях. Таковыми являются, например, двучленные уравнения

Абель нашел другой очень широкий класс таких уравнений, так называемые циклические уравнения и еще более общие «абелевы» уравнения. Гаусс по поводу задачи построения циркулем и линейкой правильных многоугольников подробно рассмотрел так называемое уравнение деления круга, т. е. уравнение вида

где — простое число, и показал, что оно всегда может быть сведено к решению цепи уравнений низших степеней, причем нашел условия, необходимые и достаточные для того, чтобы такое уравнение решалось в квадратных радикалах. (Необходимость этих условий была строго обоснована только Галуа.)

Итак, после работ Абеля положение было следующее: хотя, как это показал Абель, общее уравнение, степень которого выше четвертой, вообще говоря, не решается в радикалах, однако есть сколько угодно различных частных уравнений любых степеней, которые все же решаются в радикалах. Весь вопрос о решении уравнений в радикалах был поставлен этими открытиями на совсем новую почву. Стало ясно, что надо искать, каковы все те уравнения, которые решаются в радикалах, или, иначе говоря, каково условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение решалось в радикалах. Этот вопрос, ответ на который давал в некотором смысле окончательное выяснение всей задачи, решил гениальный французский математик Эварист Галуа.

Галуа (1811—1832) погиб в возрасте 20 лет на дуэли и в последние два года своей жизни не мог посвящать много времени занятиям математикой, так как был увлечен бурным вихрем политической жизни времен революции 1830 г., сидел в тюрьме за свои выступления против реакционного режима Людовика-Филиппа и т. п. Тем не менее за свою короткую жизнь Галуа сделал в разных частях математики открытия, далеко опередившие его время, и, в частности, дал самые замечательные из имеющихся результатов в теории алгебраических уравнений. В небольшой работе «Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах», оставшейся в его рукописях после его смерти и впервые обнародованной Лиувиллем лишь в 1846 г., Галуа, исходя из самых простых, но глубоких соображений, наконец, распутал весь клубок трудностей, сосредоточенных вокруг теории решения уравнений в радикалах, — трудностей, над которыми безуспешно бились до того величайшие математики. Успех Галуа был основав на том, что он первый применил в теории уравнений ряд чрезвычайно важных новых общих понятий, впоследствии сыгравших большую роль во всей математике в целом.

Рассмотрим теорию Галуа для частного случая, а именно того, когда коэффициенты заданного уравнения степени

— рациональные числа. Случай этот особенно интересен и содержит

в себе по существу уже все трудности общей теории Галуа. Мы будем, кроме того, предполагать, что все корни рассматриваемого уравнения различны.

Галуа начинает с того, что, подобно Лагранжу, рассматривает некоторое выражение 1-й степени относительно

но он не требует, чтобы коэффициенты этого выражения были корнями из единицы, а берет за некоторые целые рациональные числа, такие, чтобы были численно различны все значений которые получаются, если в V переставить корни всеми возможными способами. Это всегда можно сделать. Далее, Галуа составляет то уравнение степени, корнями которого являются Нетрудно показать при помощи теоремы о симметрических многочленах, что коэффициенты этого уравнения степени будут рациональными числами.

До сих пор все довольно похоже на то, что делал Лагранж.

Далее Галуа вводит первое важное новое понятие — понятие неприводимости многочлена в данном поле чисел. Если задан некоторый многочлен от коэффициенты которого, например, рациональны, то многочлен называется приводимым в поле рациональных чисел, если он может быть представлен в виде произведения многочленов более низких степеней с рациональными коэффициентами. Если нет, то многочлен называется неприводимым в поле рациональных чисел. Многочлен приводим в поле рациональных чисел, так как он равен а, например, многочлен как это можно показать, неприводим в поле рациональных чисел.

Существуют способы, правда, требующие длинных вычислений, для того чтобы разложить любой заданный многочлен с рациональными коэффициентами на неприводимые множители в поле рациональных чисел;

Галуа предлагает разложить полученный им многочлен на неприводимые множители в поле рациональных чисел.

Пусть — один из таких неприводимых множителей (какой из них, для дальнейшего все равно) и пусть он степени.

Многочлен будет тогда произведением из множителей 1-й степени на которые разлагается многочлен степени Пусть этими множителями являются — Перенумеруем как-либо числами (номерами) корни заданного уравнения степени. Тогда входят все возможные перестановок нумеров корней, а в — только из них. Совокупность этих перестановок номеров называется группой Галуа заданного уравнения

Далее Галуа вводит еще некоторые новые понятия и проводит хотя и простые, но поистине замечательные рассуждения, из которых получается, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение (6) решалось в радикалах, заключается в том, чтобы группа перестановок номеров удовлетворяла некоторому определенному условию.

Таким образом, предвидение Лагранжа, что в основе всего вопроса лежит теория перестановок, оказалось правильным.

В частности, теорема Абеля о неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах может быть теперь доказана так. Можно показать, что существует сколько угодно уравнений 5-й степени, даже с целыми рациональными коэффициентами, таких, для которых соответственный многочлен 120-й степени неприводим, т. е. таких, группа Галуа которых есть группа всех перестановок номеров 1, 2, 3, 4, 5 их корней. Но группа эта, как это можно доказать, не удовлетворяет критерию (признаку) Галуа, и поэтому такие уравнения 5-й степени не решаются в радикалах.

Так, например, можно показать, что уравнение где а — положительное целое число, большей частью не решается в радикалах. Например, оно не решается в радикалах при