§ 7. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

1. Четырем этапам в развитии математики, о которых говорилось в § 5, естественно, отвечают ступени в математическом образовании, так что основному содержанию каждого из этих этапов можно довольно точно сопоставить уровень математических знаний, получаемых на разных ступенях обучения.

Основные результаты арифметики и геометрии, полученные в первый период развития математики, известны у нас всем и составляют предмет начального образования. Например, определяя количество материала,

нужное для выполнения работы, скажем — настила пола, мы уже пользуемся этими первыми результатами математики:

Важнейшие достижения второго периода — периода элементарной математики — составляют предмет преподавания в средней школе.

Основные результаты третьего периода (основы анализа, теории дифференциальных уравнений, высшей алгебры и др.) составляют главное содержание математического образования каждого инженера; они изучаются так или иначе в каждой высшей школе, на каждом факультете, кроме гуманитарных. Таким образом, основные идеи и результаты математики этого периода широко известны, и ими пользуются в большем или меньшем объеме почти все инженеры и естествоиспытатели.

Напротив, идеи и результаты последнего, современного, этапа в развитии математики изучаются в основном только на специальных физико-математических факультетах. Кроме специалистов-математиков, ими пользуются научные работники в области механики, физики, ряде отраслей новой техники. Конечно, это вовсе не означает, что они удалены от приложений, но они представляют собой последние результаты развития науки и, естественно, оказываются более сложными. Поэтому, переходя сейчас к общей характеристике последнего этапа в развитии математики, мы не можем рассчитывать на то, что все, о чем мы коротко скажем, окажется вполне ясным. Мы попытаемся в нескольких штрихах дать только самукг общую характеристику новых разделов математики, содержание которых более подробно выяснится из соответствующих глав книги.

Если этот параграф покажется излишне трудным, его можно в первом чтении пропустить, с тем чтобы вернуться к нему после ознакомления со специальными главами.

2. Начало современного этапа в развитии математики характеризовалось глубокими изменениями во всех ее основных разделах: алгебре, геометрии, анализе. Быть может наиболее отчетливо это изменение можно проследить на примере геометрии. В 1826 г. Лобачевским и почти одновременно также венгерским математикам Яношем Бойай была развита новая неэвклидова геометрия. Идеи Лобачевского далеко не сразу стали понятны всем математикам: они были слишком смелы и неожиданны. Однако именно с этого момента началось принципиально новое развитие геометрии, изменилось самое понимание того, что такое геометрия. Ее предмет и область применений стали быстро расширяться. Важнейший после Лобачевского шаг в этом направлении был сделан в 1854 г. знаменитым немецким математиком Риманом. Он явно формулировал общую идею о неограниченности числа «пространств», которые может изучать геометрия, и указал вместе с тем возможный их реальный смысл.

В новом развитии геометрии характерны два обстоятельства.

Во-первых, если прежде геометрия изучала только пространственные формы и отношения материального мира (притом лишь в той мере, в

какой они отражаются в рамках эвклидовой геометрии), то теперь ее предмет составляют также многие другие формы и отношения действительности, лишь сходные с пространственными и потому допускающие использование при их исследовании геометрических методов. В связи с этим термин «пространство» приобрел в математике новый, более широкий и в то же время более специальный смысл. Одновременно сами методы геометрии стали во много раз богаче и разнообразнее. (В свою очередь они дают более совершенные средства познания того окружающего нас физического пространства, от которого была абстрагирована геометрия в ее первоначальном виде.)

Во-вторых, даже в эвклидовой геометрии произошли важные сдвиги: в ней изучаются свойства несравненно более сложных фигур, вплоть до произвольных точечных множеств. Появляется также принципиально новый подход к самим исследуемым свойствам фигур. Выделяются отдельные группы свойств, которые подвергаются исследованию в отвлечении от других, причем это отвлечение, это абстрагирование уже внутри геометрии порождает своеобразные ее разделы, являющиеся по существу самостоятельными «геометриями». Развитие геометрии во всех этих направлениях продолжается, и предметом ее рассмотрения служат все новые и новые «пространства» и их «геометрии»: пространство Лобачевского, проективное пространство, эвклидовы и другие пространства разных чисел измерения, например четырехмерное, римановы пространства, финслеровы пространства, топологические пространства и т. д. Эти теории находят важные применения как в самой математике, помимо геометрии, так и в физике и механике, причем особенно замечательным является их применение в теории относительности современной физической теории пространства, времени и тяготения. Из сказанного можно видеть, что речь идет о качественном изменении геометрии.

Идеи современной геометрии и некоторые элементы учения о разных исследуемых в ней пространствах будут изложены в главах XVII и XVIII (том 3).

3. Качественное изменение претерпела также алгебра. В первой половине прошлого столетия в ней зарождаются новые теории, которые привели к ее изменению, расширению ее предмета и области приложений.

Алгебра в своей первоначальной основе была, как уже говорилось в § 5, учением об арифметических действиях над числами, рассматриваемых формально, в общем виде, в отвлечении от данных конкретных чисел. Это отвлечение нашло отражение в том, что в алгебре величины обозначаются буквами, с которыми производят выкладки по известным формальным правилам.

Современная алгебра, сохраняя эту основу, колоссально расширяет ее. В ней рассматривают теперь «величины» гораздо более общей природы, чем числа, причем изучаются действия над этими «величинами», аналогичные

в той или иной степени по своим формальным свойствам обычным арифметическим действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Простейший пример представляют векторные величины, которые тоже, как известно, можно складывать по правилу параллелограмма. Но обобщение, проводимое в современной алгебре, таково, что даже самый термин «величина» часто теряет смысл, и говорят вообще об «объектах», над которыми можно производить действия, подобные обычным алгебраическим. Так, например, два движения, произведенные одно за другим, как очевидно, равносильны некоторому одному суммарному движению, два алгебраических преобразования формулы могут быть равносильны одному итоговому преобразованию и т. п. Соответственно можно говорить о своего рода «сложении» движений или преобразований. Все это и многое другое в том же роде изучает в общем отвлеченном виде современная алгебра.

Новые алгебраические теории, идущие в этом направлении, зародились в первой половине прошлого столетия в исследованиях ряда математиков, из которых особенно следует назвать французского математика Галуа (1811—1832). Понятия, методы и результаты современной алгебры находят существенные применения в анализе, геометрии, физике, кристаллографии и т. п. В частности, упомянутое в конце § 3 учение о симметрии кристаллов, развитое Е. С. Федоровым, опирается на соединение геометрии с одной из новых алгебраических теорий — так называемой теорией групп.

Мы видим, что речь идет о коренном, качественном обобщении предмета алгебры, об изменении самого понимания того, что такое алгебра. (Идеи современной алгебры и элементы некоторых ее теорий будут изложены в главах XX и XVI, том 3).

4. Анализ со всеми его ответвлениями также претерпел глубокие сдвиги. Во-первых, как уже было сказано в предыдущем параграфе, были уточнены его основания, в частности получили точные и общие определения его основные понятия: функция, предед, интеграл и, наконец, само понятие переменной величины (было дано строгое определение действительного числа). Начало уточнения основ анализа исходит от чешского математика Больцано (1781—1848), французского математика Коши (1789—1857) и ряда других. Это уточнение относится к тому же периоду, что и новое развитие алгебры и геометрии; оно было в известной мере завершено к 80-м годам прошлого столетия немецкими математиками Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором. Последний, как уже было сказано в конце § 6, положил начало теории бесконечных множеств, сыгравшей большую роль в развитии новых идей математики.

Уточнение понятий переменной и функции в связи с теорией множеств создало почву для дальнейшего развития анализа. Произошел переход к исследованию более общих функций; в соответствующем направлении

обобщается аппарат анализа: интегральное и дифференциальное исчисления. Так, на пороге нашего столетия возникла уже упомянутая в § 6 новая глава анализа, называемая теорией функций действительного переменного. Развитие этой теории более всего обязано французским математикам Борелю, Лебегу и др. и потом особенно Н. Н. Лузину (1883—1950) и его школе. В целом новые главы анализа называют современным анализом, в отличие от прежнего, называемого классическим.

В анализе возникли и другие новые теории. Так, выделилась в особую область теория приближения функций, которая изучает вопросы о наилучшем приближенном представлении общих функций различными «простыми» функциями, в первую очередь многочленами, т. е. функциями вида

Теория приближения функций имеет важное значение уже по одному тому, что дает общие основания для практического вычисления функций, для приближенной замены сложных функций функциями более простыми. Зачатки этой теории восходят еще ко времени возникновения анализа. Новое направление было дано ей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821—1894). Направление это было позже развито в так называемую конструктивную теорию функцией, главным образом трудами советских математиков, особенно С. Н. Бернштейна (род. 1880), которому принадлежат здесь важнейшие результаты. Приближению функций посвящена глава XII (том 2).

Выше уже шла речь о развитии теории функций комплексного переменного. Мы должны еще упомянуть о так называемой качественной теории дифференциальных уравнений, берущей начало от работ Пуанкаре (1854—1912) и А. М. Ляпунова (1857—1918), о которой дается понятие в главе V (том 2), а также о теории интегральных уравнений и т. д. Последние теории имеют большое практическое значение для механики, физики и техники. Так, качественная теория дифференциальных уравнений решает задачи об устойчивости движения, работы механизмов, электро-колебательных систем и т. п. Устойчивость процесса в самом общем смысле означает, что при малом изменении начальных данных или условий его течения весь его режим на всем протяжении времени будет изменяться также незначительно. Техническое значение такого рода вопросов едва ли нуждается в пояснениях.

5. На почве развития анализа и математической физики в соединении с новыми идеями геометрии и алгебры возникла новая обширная область — так называемый функциональный анализ, играющий исключительно важную роль в современной математике. В создании его принимали участие многие ученые; назовем, например, крупнейшего немецкого математика последнего времени Гильберта (1862—1943), венгерского математика

Рисса (1880—1956) и польского математика Банаха (1892—1945). Важные результаты в этой области, связанные с математической физикой, принадлежат молодым советским ученым. Функциональному анализу посвящена отдельная глава XIX (том 3).

Сущность этой новой части математики коротко состоит в следующем. Если в классическом анализе переменной является величина — «число», то в функциональном анализе уже самая функция рассматривается как переменная. Свойства данной функции определяются здесь не сами по себе, а по отношению этой функции к другим функциям. Поэтому рассматриваются уже не отдельные функции, а сразу совокупности всех функций, характеризуемых тем или иным общим свойством, например всех непрерывных функций. Такая совокупность функций объединяется в так называемое «функциональное пространство». Это соответствует, например, тому, что мы можем рассматривать совокупность всех кривых на плоскости или всех возможных движений данной механической системы, определяя свойства отдельных кривых, или движений по их отношениям к другим кривым, или другим движениям.

Переход от изучения или разыскания отдельных функций к рассмотрению переменной функции подобен переходу от неизвестных чисел х, у к переменным х, у, т. е. подобен указанной в предыдущем параграфе идее Декарта. В связи с этой идеей Декарт дал известное соединение алгебры и геометрии — уравнения с кривой, что послужило одним из решающих моментов возникновения анализа. Подобно этому теперь соединение понятия о переменной функции с идеями уже современной алгебры и современной геометрии породило новый, функциональный, анализ. Подобно тому, как анализ был необходим для развития создавшейся тогда механики, так функциональный анализ дал новые методы решения задач математической физики и представил математический аппарат для новой атомной, квантовой механики. История в известной мере повторяется, но по-новому, на более высокой ступени. Функциональный анализ соединяет, как мы уже сказали, основные идеи и методы анализа, современной алгебры и геометрии и в свою очередь оказывает влияние на их развитие. Задачи, идущие от классического анализа, получают теперь новые общие решения часто как раз посредством функционального анализа. Здесь, как в фокусе, собираются и дают практические плоды наиболее общие и абстрактные идеи современной математики.

Из этого краткого очерка, из одного перечисления новых направлений анализа (теория функций действительного переменного, теория приближения функций, качественная теория дифференциальных уравнений, теория интегральных уравнений, функциональный анализ) можно понять, что речь идет действительно о существенно новом этапе в развитии анализа.

6. Во все времена технический уровень средств вычисления оказывал существенное влияние на сами математические методы. Однако

находящиеся в нашем распоряжении средства выполнения вычислений до последнего времени оставались весьма ограниченными. Простейшие приспособления (типа счетов), таблицы логарифмов и логарифмическая линейка, арифмометр, наконец, счетно-аналитические машины и автоматизированный арифмометр — вот основные средства вычислений, существовавшие к 40-м годам XX в. Эти средства обеспечивают более или менее быстрое выполнение отдельных операций (сложения, умножения и т. п.). Но доведение до численного результата практически возникающих задач требует подчас колоссального числа подобных операций, следующих сложной программе, зависящей иногда от получаемых по ходу дела результатов. Решение таких задач оказывалось практически недоступным или полностью обесценивалось длительностью самого решения.

В последнее десятилетие на наших глазах происходит коренное изменение всего уровня вычислительной техники. Современные вычислительные машины, построенные на новых принципах, позволяют вести вычисления с исключительно большой скоростью и при этом автоматически проводить сложные цепи вычислений по заранее намечаемым для этого весьма гибким программам. Некоторые вопросы, связанные с устройством и значением современных счетных машин, будут освещены в главе XIV.

Новая техника не только делает доступными неосуществимые ранее исследования, но она заставляет изменить оценку многих известных математических результатов. Ею особенно стимулируется развитие приближенных методов, т. е. путей, дающих возможность посредством цепи элементарных операций подойти к необходимому численному результату с достаточно большой точностью. Сами методы приходится при этом оценивать с точки зрения удобства их реализации на соответствующих машинах.

В тесной связи с развитием новой вычислительной техники находится математическая логика. Она развилась прежде всего из внутренних потребностей математики в связи с возникшими в ней трудностями и имеет своим предметом анализ математических доказательств. Будучи, собственно, разделом математики, математическая логика включает в себя те разделы общей логики, которые объективно допускают формализацию и могут развиваться математическим методом.

Восходя, с одной стороны, к истокам и основаниям математики, математическая логика, с другой стороны, оказывается тесно связанной с наиболее современными вопросами вычислительной техники. Естественно, например, что доказательство, ведущее к созданию определенного процесса, позволяющего приблизиться к результату с произвольно высокой точностью, существенно отличается от более отвлеченных доказательств существования того или иного результата.

Возникает также своеобразный круг вопросов в связи с исследованием пределов общности тех классов задач, которые вообще могут быть

охвачены заведомо ведущим к результату единообразным, вполне определенным методом. На этом пути в математической логике получены глубокие результаты, весьма важные также с общей познавательной точки зрения.

Не будет преувеличением сказать, что в современной математике с развитием новой вычислительной техники и достижениями математической логики связан новый период, характеризующийся тем, что предметом исследования становится не только тот или иной объект, но и те пути, те формы, посредством которых этот объект задается, не только те или иные задачи, но и возможные способы их решения.

Ко всему сказанному остается только добавить, что и более старые области математики — теория чисел, эвклидова геометрия, классические алгебра и анализ, теория вероятностей — продолжают на протяжении всего периода современной математики бурно развиваться, обогащаясь новыми принципиальными идеями и результатами. Таковы, например, идеи и результаты, данные в теории чисел и наглядной геометрии русскими и советскими математиками П. Л. Чебышевым, Е. С. Федоровым, И. М. Виноградовым и другими. Широкое развитие теории вероятностей связано с чрезвычайно важными закономерностями статистической физики и современными техническими проблемами.

7. Каковы же наиболее общие характерные черты современной математики в целом, которые выявляются из только что рассмотренного развития геометрии, алгебры и анализа?

Это прежде всего громадное расширение предмета математики, расширение области ее приложений. Такое расширение предмета и области приложений математики означает вместе с тем громадный количественный и качественный ее рост, появление новых теорий и сильных математических методов, которые позволяют решать задачи, вовсе недоступные прежде. При этом расширение предмета математики характеризуется прежде всего тем, что современная математика сознательно ставит перед собой задачу изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм.

Другая характерная черта современной математики — это создание новых обобщающих понятий, новая, более высокая ступень абстракции. Именно эта особенность обеспечивает сохранение единства математики, несмотря на рост и разнообразие ее ответвлений. В областях, самых далеких друг от друга, обобщающие понятия и теории вскрывают единое и общее. Они же обеспечивают достаточную общность методов, широту приложений и глубокое взаимное проникновение основных разделов математики: геометрии, алгебры, анализа.

К характерным чертам современной математики следует отнести также известное господство теоретико-множественной точки зрения. Конечно, эта точка зрения сама приобретает смысл именно потому, что

суммирует накопленный всем предшествующим развитием математик содержательный материал.

Наконец, одну из характерных черт современной математики состав ляет более глубокий анализ ее основ анализ взаимозависимости ее понятий, структуры отдельных теорий, анализ самых способов математиче ских доказательств и выводов. Без такого анализа основ не могут совер шенствоваться и развиваться дальше сами обобщающие принципы и теории

Определяющую особенность современной математики можно видеть в том, что ее предмет составляет уже не только данные, но и возможны количественные отношения и формы. В геометрии речь идет не только о пространственных, но и о сходных с пространственными, возможных отно шениях и формах. В алгебре речь идет о разных системах абстрактны: объектов с возможными законами действий над ними. В анализе перемен ной становится не только величина, но самая функция рассматривается как переменная. В функциональное пространство объединяются все функции того или иного типа, т. е. возможные зависимости между перемен ными. Поэтому коротко можно сказать, что если элементарная математика есть математика постоянных величин, математика следующего периода — математика переменных величин, то современная математика есть математика возможных, [вообще говоря переменных, количественные отношений и взаимосвязей между величинами. Это определение, конечно неполно, но оно в общем верно выделяет ту характерную черту совре менной математики, которая обусловливает ее качественное отличие от математики предыдущих эпох.