§ 16. РЯДЫ

Понятие ряда.

Рядом в математике называют выражение вида

Числа называются членами ряда. Они задаются в бесконечном числе и располагаются в определенном порядке, так что каждому натуральному числу соответствует определенное значение

Читатель должен иметь в виду, что мы пока не сказали, можно ли вычислять такие выражения и как это делать. То обстоятельство, что между членами в нашем выражении, стоят знаки плюс, указывает как будто на то, что все члены надо сложить. Однако их бесконечно много, а сложение чисел определено только для конечного числа слагаемых.

Обозначим через сумму первых членов нашего ряда; ее называют частичной суммой ряда. В результате мы получим последовательность чисел

и можем говорить о переменной величине где

Ряд называется сходящимся, если переменная стремится при к определенному конечному пределу

Сам этот предел называется суммой ряда. В этом случае пишут

Если же предела при не существует, то ряд называется расходящимся, и в этом случае не имеет смысла говорить о его суммех. Впрочем, если все одного знака, то в этом случае принято говорить, что сумма ряда равна бесконечности с соответствующим знаком. Рассмотрим в качестве примера ряд

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Сумма его первых членов равна

в случае, если эта сумма имеет предел

и потому для можно написать

Если то, очевидно,

и ряд расходится. Это же обстоятельство имеет место и при в чем можно убедиться непосредственно без формулы (55), которая при не имеет смысла. Наконец, при сумма первых членов ряда принимает попеременно значения то то 0, и ряд также будет расходящимся.

Каждому ряду соответствует определенная последовательность значений частичных его сумм от стремления которых к пределу и зависит сходимость ряда. Наоборот, любой последовательности чисел соответствует ряд

частичными суммами которого будут числа этой последовательности. Таким образом, теория переменных, пробегающих последовательность, может быть сведена к теории соответствующих рядов, и наоборот. Однако каждая из этих теорий имеет самостоятельное значение. В одних случаях целесообразнее переменную изучать непосредственно, в других — рассматривать эквивалентный ей ряд.

Отметим, что ряды с давних пор служили важным средством для вычисления и представления различных величин и прежде всего функций. Разумеется, взгляды математиков на понятие ряда исторически менялись и находились в тесной связи с состоянием развития всего анализа бесконечно малых. То четкое определение сходимости и расходимости ряда, которое дано выше, сформировалось в начале прошлого столетия вместе с органически связанным с ним понятием предела.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании так как

Из дальнейших примеров будет видно, что обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Однако высказанный критерий полезен, так как дает необходимое условие сходимости ряда. Например, то обстоятельство что ряд, членами которого являются члены геометрической прогрессии со знаменателем расходится, уже вытекает из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Если ряд состоит из положительных членов, то его частичная сумма возрастает вместе с и может быть только два случая: либо переменная при достаточно большом делается больше любого наперед заданного числа А, и тогда для последующих значений она навсегда останется больше т. е. ряд расходится; либо существует такое число А, что для всех величина не превышает А, но тогда переменная принуждена будет стремиться к определенному конечному, не превышающему А пределу, и наш ряд будет сходящимся.