Ряды функций. Равномерно сходящиеся ряды.

В анализе часто приходится иметь дело с рядами, члены которых являются функциями от

В предыдущем параграфе у нас уже были примеры таких рядов. Например, ряд Для одних значений х он сходился, для других — расходился. Важные в приложениях случаи составляют ряды функций, сходящиеся для всех значений принадлежащих к некоторому интервалу, который, в частности, может оказаться всей действительной осью или полуосью. Появляется необходимость такие ряды почленно дифференцировать, интегрировать, выяснять вопрос о непрерывности их суммы и т. д. Если речь идет об обычной сумме конечного числа слагаемых, то у нас есть простые общие правила. Мы знаем, что производная суммы дифференцируемых функций равна сумме их производных, интеграл от суммы непрерывных функций есть сумма их интегралов, сумма непрерывных функций в свою очередь есть непрерывная функция, — все это для конечного числа слагаемых.

Однако при переходе к бесконечным рядам эти простые правила перестают, вообще говоря, выполняться. Можно было бы привести многочисленные примеры сходящихся рядов функций, для которых правила почленного интегрирования и дифференцирования оказываются неверными. Точно так же, когда ряд состоит из непрерывных функций, его сумма может не быть функцией непрерывной. С другой стороны, существует много рядов, которые по отношению к этим правилам ведут себя, как обычные конечные суммы.

Соответствующие глубокие исследования этого вопроса показали, что законность применения этих правил можно заранее гарантировать, если рассматриваемые ряды не только сходятся в каждой отдельной точке рассматриваемого отрезка (промежутка изменения но эта сходимость по отношению ко всему промежутку равномерна. Таким образом, в математическом анализе выкристаллизовалось (в середине XIX в.) важное понятие равномерной сходимости ряда.

Рассмотрим ряд

членами которою являются функции, определенные на отрезке . Будем предполагать, что этот ряд для каждого отдельного значения х из этого отрезка сходится к некоторой сумме . Сумма первых членов этого ряда

есть также некоторая функция от определенная на

Введем теперь в рассмотрение величину равную верхней грани значений когда изменяется на отрезке Эту величину записывают так:

В случае, если величина достигает своего максимального значения, что будет заведомо иметь место, например когда непрерывны, то есть просто максимум на

В силу предположенной сходимости нашего ряда для каждого отдельного значения х из отрезка

Однако величина может при этом стремиться к нулю, а может и стремиться. Если величина стремится к нулю при то ряд называется равномерно сходящимся. В противном случае ряд называется неравномерно сходящимся. В этом же смысле можно говорить о равномерной и неравномерной сходимости последовательности функций не обязательно связывая их с рядом, частичными суммами которого они являются.

Пример 1. Ряд функций

который будем считать определенным только для неотрицательных значений х, т. е. на полупрямой можно записать в виде

откуда его частичная сумма равна

и

Таким образом, ряд сходится для всех неотрицательных х и имеет сумму Далее,

и наш ряд равномерно сходится к нулю на полуоси На рис. 37 изображены графики частичных сумм

Пример 2. Ряд

можно переписать в виде

откуда

следовательно,

Сумма ряда, таким образом, есть разрывная на отрезке [0, 1] функция с разрывом в точке Величина при каждом х из [0, 1] меньше единицы, но при х, близких к становится сколь угодно близка к единице. Поэтому

для всех . Таким образом, наш ряд сходится на отрезке неравномерно. На рис. 38 изображены графики функций График суммы ряда состоит из отрезка на оси без правого конца и из точки (1, 1).

Этот пример показывает, что сумма неравномерно сходящегося ряда непрерывных функций действительно может оказаться функцией разрывной.

Рис. 37.

Рис. 38.

С другой стороны, если наш ряд рассматривать на отрезке где то

и, следовательно, на этом отрезке ряд сходится равномерно, и сумма его, как мы видим, непрерывна. То обстоятельство, что сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть непрерывная функция, как уже говорилось, является общим правилом, которое может быть строго доказано.

Пример 3. Сумма первых членов ряда имеет график, изображенный жирной ломаной на рис. 39. Очевидно, для всех будет если же то для всех будем иметь и, следовательно, для любого х из отрезка [0, 1]

С другой стороны,

Мы видим, что величина не стремится к нулю; она стремится даже к бесконечности. Заметим, что наш ряд, соответствующий рассматриваемой последовательности нельзя почленно интегрировать на отрезке [0, 1], так как

и, таким образом, ряд

сводится к такому расходящемуся ряду:

Сформулируем без доказательства основные свойства равномерно сходящихся рядов:

1. Сумма равномерно сходящегося на отрезке ряда непрерывных функций есть функция, непрерывная на этом отрезке.

2. Если ряд непрерывных функций

равномерно сходится на отрезке то его можно на этом отрезке почленно интегрировать, т. е. для всяких из имеет место равенство

Рис. 39.

3. Пусть на отрезке ряд (57) сходится и функций имеют непрерывные производные, тогда равенство

полученное почленным дифференцированием ряда (57), заведомо будет иметь место на отрезке при условии, что получающийся в равенстве (58) справа ряд сходится равномерно.