Проективная геометрия.

Двумерной проективной геометрией называется совокупность теорем о тех свойствах фигур проективной плоскости, т. е. обыкновенной плоскости, дополненной несобственными элементами, которые не изменяются при любых проективных преобразованиях.

Рис. 81.

Рис. 82.

Вот пример задачи проективной геометрии. Даны две прямые а и и некоторая точка М (рис. 82). Построить прямую с, проходящую через точку М и точку пересечения прямых a и b, не используя самой этой точки пересечения (что может быть нужно, например, если эта точка очень далеко). Проведя через точку М две секущие 1 и 2 и затем прямые 3 и 4 через точки их пересечения с прямыми а и b, мы получаем точку К. Проведем через нее еще секущую 5 и прямые 6 и 7, тогда, как можно доказать, прямая с, проходящая через точку пересечения прямых 6 и 7 и точку М, и есть искомая.

Из теории конических сечений следует (рис. 83), что эллипс, гипербола и парабола суть перспективные проекции друг друга, и притом все они суть перспективные проекции окружности.

Если рассматривать перспективные проекции как проективные отображения проективных плоскостей Р и Р друг на друга, то, совместив эти плоскости, мы получим, что все эллипсы, гиперболы и параболы являются результатами проективных преобразований окружностей. Разница в том, что те проективные преобразования окружности, при которых в бесконечно удаленную прямую превращается прямая, не пересекающая

эту окружность, суть эллипсы; если же в бесконечно удаленную прямую превращается прямая, касающаяся окружности, получается парабола, а если пересекающая — то гипербола (рис. 84).