Ортогональные преобразования.

Движения плоскости по себе, как жесткого целого, или такие движения плюс отражение в некоторой прямой, лежащей на плоскости, называются ортогональными преобразованиями плоскости, а движения пространства, как жесткого целого, или такие движения плюс отражение пространства в некоторой его плоскости называются ортогональными преобразованиями пространства. Очевидно, что ортогональные преобразовании — это такие аффинные преобразования, при которых не изменяется «метрика» репера, а он только претерпевает передвижение, либо передвижение плюс отражение.

Будем исследовать ортогональное преобразование при помощи прямоугольных координат, т. е. когда векторы исходного репера взаимно перпендикулярны и имеют длины, равные абсолютной масштабной единице. После ортогонального преобразования векторы репера останутся взаимно перпендикулярными, т. е. их скалярные произведения будут равны нулю и останутся по длине равными единице. Поэтому (см. формулу (14) на стр. 210) в случае плоскости мы будем иметь

а в случае пространства

Поэтому, если исходный репер считать прямоугольным, то формулы дают ортогональное преобразование плоскости тогда и только тогда, когда выполняются условия ортогональности а формулы (22) дают ортогональное преобразование пространства, если выполняются условия ортогональности (22). Можно показать, что если то это - движение, если то это — движение плюс отражение.