Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Эллипс как результат «сжатия» окружности.

Рассмотрим окружность с центром в начале и радиусом а. В силу теоремы Пифагора ее уравнение есть Мы пишем не у, а у, так как у нам понадобится дальше. Посмотрим, во что эта окружность превратится, если сделать «сжатие» плоскости к оси с коэффициентом (рис. 66).

После такого «сжатия» значения х всех точек останутся прежними, а значения у станут равными Подставляя у в написанное уравнение окружности, мы будем иметь:

или это будет в тех же осях уравнением той линии, которая получилась из рассматриваемой окружности сжатием к оси Как мы видим, получается эллипс. Итак, мы доказали, что эллипс есть результат «сжатия» окружности.

Рис. 66.

Из того, что эллипс есть «сжатие» окружности, непосредственно следуют многие свойства эллипса. Например, упомянутое свойство диаметров, что если даны параллельные секущие эллипса, то середины образуемых ими хорд лежат на прямой (см. рис. 12), может быть доказано следующим образом. Сделаем обратное растяжение эллипса в круг. При этом параллельные хорды эллипса превратятся в параллельные хорды круга, а их середины — в середины этих хорд. Но середины параллельных хорд круга лежат на его диаметре, т. е. на прямой, следовательно, и середины параллельных хорд эллипса также лежат на одной прямой. Именно, они лежат на той прямой, которая получается из диаметра круга тем «сжатием» которым из этой окружности получается эллипс.

А вот другое приложение теории «сжатия». Так как всякая вертикальная полоска круга при его сжатии к оси не изменяя своей ширины, меняет свою длину в раз, то площадь этой полоски после сжатия равна ее исходной площади, помноженной на а так как площадь круга равна то площадь соответственного эллйпсаравна

1
Оглавление
email@scask.ru