Ряд Тейлора.

Если брать в формуле (25) все большее и большее число членов, то отклонение правой части от выражаемое остаточным членом может оказаться стремящимся к нулю. Конечно, это будет далеко не всегда: не для всякой функции и не для всякого Однако существует широкий класс функций (называемых аналитическими), для которых остаточный член действительно стремится к нулю по крайней мере для значений х, заполняющих некоторый промежуток, окружающий точку а. Именно для таких функций формула Тейлора позволяет вычислять с любой степенью точности. Остановимся подробнее на этих функциях.

Если при то из (26) следует

В этом случае говорят, что разлагается в сходящийся бесконечный ряд

расположенный по возрастающим степеням и называемый рядом Тейлора, причем называют суммой этого ряда. Приведем несколько примеров разложений в ряд Тейлора хорошо известных нам функций (в этих примерах

Первый из этих примеров — известный бином Ньютона, полученный Ньютоном для всех но в его время полностью обоснованный только для целых п. Этот пример послужил образцом к созданию общей формулы Тейлора. Последние два примера при позволяют вычислить с любой степенью точности числа .

Практическое значение формулы Тейлора, открывающей путь большинству вычислений в приложениях анализа, весьма велико.

Функции, разлагающиеся в ряд Тейлора, с большой точностью выражают многие закономерности в природе: физические и химические процессы, движения тел и т. д. Их теория получает наиболее ясный и законченный характер, если рассматривать их как функции комплексного переменного. Теории таких функций будет уделено соответствующее место в главе IX (том 2).

Сама идея приближенного выражения функции многочленом и задача представления функции в виде суммы бесконечного числа более простых слагаемых получили далеко идущее развитие в анализе, образовав самостоятельный его раздел — теорию приближения функций (см. главу XII, том 2).