Связь дифференциального и интегрального исчисления.

Примером прямого вычисления определенного интеграла может служить пример 2 § 1. Теперь можно сказать, что рассмотренная там задача сводится к вычислению определенного интеграла

Другой пример был рассмотрен в § 3, где была решена задача о нахождении площади, ограниченной параболой Здесь вопрос сводится к вычислению интеграла

Оба эти интеграла нам удалось вычислить благодаря тому, что мы знали простые формулы для суммы первых натуральных чисел и суммы квадратов этих чисел. Однако далеко не для всякой функции удается суммировать (выражать простыми формулами) суммы (28), где точки и приращения Да заданы тем или иным законом. Больше того, в тех случаях, когда такое суммирование возможно, оно осуществляется не при помощи одного общего метода, а при помощи различных методов весьма частного вида, присущих чуть ли не каждой задаче в отдельности.

Таким образом, возникает задача указать общий метод вычисления определенных интегралов. Исторически эта задача долгоё время стояла перед математиками в виде конкретной проблемы отыскания общего метода нахождения площадей криволинейных фигур, объемов тел, ограниченных кривой поверхностью, и т. д.

Мы уже отмечали, что Архимед умел вычислять площадь сегмента и некоторых других фигур. В дальнейшем число отдельных задач;

подобного рода на вычисление площадей, объемов, центров тяжести тел и т. д., которые научились решать, постепенно увеличивалось. Однако процесс создания общего метода решения этих задач происходил сначала весьма медленно. Общий метод мог быть создан только после того, как был накоплен достаточно большой теоретический и вычислительный материал, который, в свою очередь, создавался в теснейшей связи с потребностями практики. Процесс накопления и обобщения сильно ускорился и перешел в энергичное развитие только в конце средних веков, что являлось непосредственным следствием бурного развития производительных сил в Европе в ту эпоху, знаменующую ломку прежних (феодальных) производственных отношений и создание новых (капиталистических).

Накопление фактов, связанных с задачей вычисления определенных интегралов, происходило параллельно с соответствующими исследованиями, связанными с задачей о нахождении производной от функции. Читатель уже знает из § 1, что эта огромная подготовительная работа получила завершение в XVII в. в работах Ньютона и Лейбница. В этом смысле говорят, что Ньютон и Лейбниц являются создателями дифференциального и интегрального исчислений.

Одна из основных заслуг Ньютона и Лейбница заключается в том, что в их работах окончательно была выяснена та глубокая связь, которая существует между дифференциальным и интегральным исчислениями. Эта связь, в частности, дает общий метод вычисления определенных интегралов для весьма большого класса функций.

Чтобы разъяснить эту связь, мы обратимся к примеру из механики.

Допустим, что некоторая материальная точка движется по прямой со скоростью где — время. Мы уже знаем, что путь а, пройденный нашей точкой за промежуток времени между равен определенному интегралу

Кроме того, допустим, что нам известен закон движения точки, т. е. - известна функция выражающая зависимость от времени пути исчисляемого от некоторой начальной точки А, выбранной на прямой. Пройденный за промежуток времени путь а, очевидно, равен разности

Таким образом из физических соображений мы пришли к равенству

которое выражает связь между законом движения нашей точки и ее скоростью.

С математической точки зрения функция как это мы знаем из § 5, может быть определена как такая функция, производная от которой для всех рассматриваемых равна т. е.

Такая функция называется первообразной функцией по отношению к

Надо иметь в виду, что если функция имеет хоть одну первообразную, то вместе с ней она имеет и бесчисленное множество первообразных, потому что если есть первообразная для то , где С — произвольная постоянная, есть также первообразная для Однако этим исчерпывается вся совокупность первообразных функций для так как если являются первообразными для одной и той же функции то их разность имеет всюду на рассматриваемом отрезке изменения производную равную нулю и, следовательно, есть постоянная

С физической точки зрения различные значения постоянной С определяют законы движения, отличающиеся только тем, что они соответствуют всевозможным различным начальным точкам О отсчета пути.

Сказанное приводит к выводу, что при весьма общих условиях, накладываемых на функцию заданную на отрезке во всяком случае при таких условиях, когда функцию можно рассматривать как скорость движения некоторой точки в момент времени х, справедливо равенство 2

где — любая первообразная функция для

Это равенство и есть знаменитая формула Ньютона и Лейбница, сводящая вопрос о вычислении определенного интеграла от функции к отысканию ее первообразной и, таким образом, связывающая в себе дифференциальное и интегральное исчисления.

Многие частные задачи, которые были предметом исследования крупнейших математиков, автоматически решаются при помощи этой формулы, выражающей, что определенный интеграл от функции на отрезке равен разности значений какой-либо первообразной для этой

функции, соответствующих правому и левому концам отрезка Разность (30) еще принято записывать так:

Пример 1. Равенство

показывает, что функция есть первообразная для функции Отсюда, на основании формулы Ньютона и Лейбница,

Пример 2. Пусть — два заряда, находящиеся на прямой на расстоянии друг от друга. Сила взаимодействия F между ними направлена вдоль этой прямой и равна

(, где к — постоянная). Работу этой силы, когда заряд с неподвижен, а заряд с передвигается по отрезку можно подсчитать, разбивая отрезок на части На каждой из них приближенно считаем силу постоянной, тогда работа на таком участке равна Делая частицы разбиения все более мелкими, убеждаемся, что работа равна интегралу

Этот интеграл мы сразу находим, принимая во внимание, что

отсюда

В частности, работа, выполненная силой F при передвижении заряда с, находящегося сначала на расстоянии от заряда с, на бесконечность, равна

Уже из соображений, при помощи которых мы пришли к формуле Ньютона и Лейбница, видно, что эта формула математически выражает определенную глубокую связь, имеющую место в объективной действительности

Формула Ньютона и Лейбница является прекрасным и притом весьма важным примером того, как математика отражает в себе объективные закономерности.

Нужно сказать, что Ньютон в своих математических исследованиях стоял на физической точке зрения. Его работы по созданию основ дифференциального и интегрального исчисления не отделимы от его работ по созданию основ механики.

Сами понятия математического анализа такие, как производная, интеграл, в представлениях Ньютона и его современников еще окончательно «не оторвались» от их физических и геометрических прообразов (скорость, площадь). Они в сущности носили наполовину математический и наполовину физический характер. Дело в том, что существовавшие тогда определения этих понятий с математической точки зрения были еще неудовлетворительными. Поэтому правильное оперирование ими в сколько-нибудь сложных случаях требовало от исследователя умения не отрываться от конкретной стороны вопроса даже на промежуточных стадиях рассуждений.

С этой точки зрения характер творчества Ньютона и Лейбница был различным х. Ньютоном на всех стадиях его исследований всегда руководила физическая точка зрения. Исследования же Лейбница не имеют такой тесной непосредственной связи с физикой, что при отсутствии четких математических определений приводило его иногда на отдельных стадиях исследований к ошибочным заключениям. С другой стороны, для творчества Лейбница было особенно характерно стремление к общности, стремление отыскивать возможно более общие методы решения задач математического анализа.

Важнейшей заслугой Лейбница является создание отражающей существо дела математической символики. Обозначения таких, например, основных понятий математического анализа, как дифференциала интеграла производной — были предложены Лейбницем. Тот факт, что эти обозначения употребляются и поныне, свидетельствует о том, насколько они удачны.

Хорошо выбранная символика весьма способстнует быстроте и легкости наших выкладок и рассуждений. Больше того, она подчас ограждает нас от ошибочных заключений. Лейбниц, который это хорошо сознавал, уделял в своем творчестве очень большое внимание выбору обозначений.

Эволюция понятий математического анализа (производной, интеграла и т. д.) происходила, конечно, и после Ньютона и Лейбница и происходит до наших дней. Однако важно отметить определенный этап в этой эволюции, который произошел в начале прошлого столетия и связан прежде всего с работами Коши.

Коши дал четкое формальное определение понятия предела и на его основе — определения понятий непрерывности, производной, дифференциала, интеграла. Эти определения приведены в соответствующих местах настоящей главы. Ими мы широко пользуемся в современном анализе.

Важность этих достижений заключается в том, что оказалось возможным оперировать чисто формально не только в арифметике, алгебре, элементарной геометрии, но еще и в новой весьма широкой области математики, в математическом анализе, получая при этом правильные результаты.

По отношению к применению во всяком случае основной массы результатов математического анализа можно было теперь сказать: если исходные данные практически верны, то результаты математических рассуждений тоже практически верны; если мы убеждены в достаточной точности исходных данных, то справедливость полученных результатов нет необходимости проверять на практике, для этого достаточно убедиться только в правильности формальных рассуждений.

Сказанное требует, разумеется, следующей оговорки. В математических рассуждениях исходные данные, которые мы берем из практики, верны лишь с точностью до некоторых погрешностей. Это приводит к тому, что на каждом шагу наших математических рассуждений с практическими данными в свою очередь получаются результаты с определенными погрешностями, накапливающимися при этом по мере увеличения числа шагов.

Возвращаясь к определенным интегралам, остановимся на вопросе, имеющем принципиальное значение. Для каких функций заданных на отрезке можно гарантировать существование определенного интеграла т. е. числа, к которому стремится сумма когда Имеется в виду, что это число должно быть одним и тем же при любом способе разбиения отрезка и любом способе выбора точек

Функции, для которых определенный интеграл, т. е. предел (29), действительно существует, называются интегрируемыми на отрезке Соответствующие исследования, относящиеся к прошлому веку, показали, что все непрерывные функции интегрируемы.

Имеются и разрывные интегрируемые функции. К их числу, например, относятся возрастающие и убывающие на отрезке ограниченные функции.

Функция, равная нулю в рациональных точках и единице в. иррациональных, может служить примером неинтегрируемой функции, так как при любом разбиении отрезка интегральная сумма будет равняться нулю или единице, в зависимости от того, будем ли мы выбирать в качестве рациональные числа или иррациональные.

Заметим, что на вопрос, как фактически находить определенный интеграл, во многих случаях дает ответ формула Ньютона — Лейбница. Однако здесь возникает проблема нахождения по данной функции ее первообразной, т. е. функции, имеющей данную функцию своей производной. К этой проблеме мы и перейдем. Заметим кстати, что отыскание первообразной имеет большое значение и в других вопросах математики, особенно при решении дифференциальных уравнений.