Сходимость ряда.
Вопрос о том, сходится или расходится данный ряд, часто можно решить, сравнивая его с другим рядом. При этом обычно пользуются следующим критерием.
Если даны два ряда
с положительными членами, у которых для всех натуральных 
начиная с некоторого значения, имеет место неравенство
то сходимость второго ряда влечет за собой сходимость первого, а расходимость первого влечет за собой расходимость второго.
Рассмотрим для примера ряд
называемый гармоническим. Члены его соответственно не меньше членов ряда
в котором сумма подчеркнутых каждой чертой слагаемых равна.
Очевидно, частичная сумма 
второго ряда возрастает до бесконечности вместе с 
и, следовательно, гармонический ряд расходится.
где а — положительное число, меньшее единицы, очевидно также расходится, так как для любого 
С другой стороны, можно показать, что ряд (56) при 
уже будет сходящимся. Докажем это здесь только при 
для этого рассмотрим ряд
с положительными членами. Он сходится и имеет сумму, равную единице, так как его частичные суммы 
равны
С другой стороны, общий член этого ряда удовлетворяет неравенству
откуда следует, что и ряд
сходится. Тем более сходится ряд (56) при а 
Приведем без доказательства еще один часто применяемый признак сходимости и расходимости рядов с положительными членами, называемый признаком Даламбера.
Допустим, что отношение 
когда 
стремится к бесконечности, имеет предел 
Тогда при 1 ряд заведомо сходится, при 1 он заведомо расходится, а при 
вопрос о его сходимости остается открытым.
Обычные суммы конечного числа слагаемых не меняются при их перестановке. Однако это, вообще говоря, не верно для бесконечных рядов. Существуют сходящиеся ряды, в которых возможна перестановка членов, изменяющая их сумму и даже превращающая их в расходящийся ряд. Обладающие такими неустойчивыми суммами ряды теряют одно из основных свойств обычных сумм — свойство перестановочности. Поэтому весьма важно выделить те из рядов, которые сохраняют это свойство. Такими оказываются так называемые абсолютно сходящиеся ряды. Ряд
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
из абсолютных величин его членов. Можно доказать, что абсолютно сходящийся ряд всегда сходится, т. е. его частичные суммы 
стремятся к конечному пределу. Всякий сходящийся ряд с членами одного знака, очевидно, абсолютно сходящийся.
может служить примером абсолютно сходящегося 
так как ряд
имеет члены, не превышающие соответственных членов сходящегося ряда
Примером сходящегося, но не абсолютно, ряда может служить следующий ряд:
Попробуйте доказать это сами.
