Относительный максимум и минимум.

Для функций многих переменных можно ставить несколько измененные задачи на максимум

и минимум. Поясним это на простом примере. Допустим, что среди всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса R, мы хотим найти прямоугольник, имеющий наибольшую площадь. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, причем положительны и связаны в данном случае соотношением как это ясно из рис. 30. Итак, требуется найти максимум функции среди только таких х и у, которые удовлетворяют соотношению

Подобные задачи, в которых надо отыскать максимум (или минимум) некоторой функции только среди тех которые связаны между собой некоторым соотношением на практике возникают весьма часто.

Разумеется, можно решить уравнение относительно у, полученное выражение у подставить в и искать обычный максимум уже для функции одной переменной Но этот путь обычно сложен, а иногда и невыполним.

Для решения подобных задач в анализе выработан несравненно более удобный прием, называемый методом множителей Лагранжа. Идея его совсем проста. Рассмотрим функцию

где X — произвольное постоянное число. Очевидно для удовлетворяющих условию значения совпадают с

Рис. 30.

Для функции будем искать максимум, не связывая х, у никакими ограничениями. В точке максимума должны быть соблюдены условия или иначе

Значения х и у в точке максимума служат одним из решений системы уравнений (43), (44) и зависят, естественно, от коэффициента X, входящего в эти уравнения. Допустим теперь, что нам удалось подобрать число X так, что координаты точки максимума удовлетворяют условию

Тогда эта точка будет и точкой местного максимума в исходной задаче.

В самом деле, на нашу задачу можно геометрически смотреть так. Функция задана в некоторой области (рис. 31). Условию обычно удовлетворяют точки некоторой кривой Г. Надо найти наибольшее значение в точках линии Г. Если в точке на кривой Г достигнут максимум не возрастает при небольших сдвигах в любую сторону из этой точки, в том числе при сдвигах по кривой Г. Но при сдвигах вдоль Г значения совпадают с значит при малых сдвигах по кривой не возрастает функция и она имеет в этой точке местный максимум.

Рис. 31.

Эти соображения подсказывают простой прием решения задачи. Составляем уравнения (43), (44), (45); решаем эту систему уравнений относительно неизвестных получится одно или несколько решений

Присоединим к точкам еще точки границы где кривая Г выходит из области после чего выбираем из всех этих точек ту, в которой принимает наибольшее (или наименьшее) значение.

Конечно, наши наводящие рассуждения еще вовсе не доказывают правильности этого приема. В самом деле, ведь не доказано, что точка, где достигает местного максимума по отношению к соседним точкам кривой Г, получается как точка максимума функции при каком-нибудь X. Можно, однако, показать, — и это делается во всех учебниках анализа, — что всякая точка местного максимума на кривой Г будет указанным путем обнаружена, если только в этой точке не обращаются одновременно в нуль производные

Решим методом Лагранжа пример, приведенный в начале настоящего пункта. В этом случае Составляем уравнения (43), (44), (45)

откуда, учитывая, что положительны, находим единственное решение

Для таких равных друг другу х и у, т. е. в случае вписанного квадрата, действительно достигается максимум площади.

Метод Лагранжа распространяется и на случай функций от трех и более переменных. Дополнительных условий, подобных условию (45), при этом может быть несколько (но меньше, чем переменных), и тогда вводится соответствующее количество вспомогательных множителей.

Вот еще примеры задач на отыскание относительного максимума или минимума.

Пример 1. При какой высоте и каком радиусе открытый цилиндрический бак данной Вместимости V потребует для своего изготовления меньше листового материала, т. е. будет иметь меньшую площадь стенок и круглого днища?

Задача, очевидно, сводится к тому, чтобы найти минимум функции переменных

при соблюдении условия которое можно записать в виде

Пример 2. Движущаяся точка должна пройти из А в В (рис. 32). На пути она движется со скоростью а на пути со скоростью Где на прямой надо поместить точку М, чтобы весь путь из А в В был пройден возможно быстрее?

Рис. 32.

Примем углы обозначенные на рис. 32, за неизвестные. Длины а и перпендикуляров из точек прямую и расстояние с между основаниями этих перпендикуляров нам известны. Время прохождения всего пути выразится, как легко видеть, формулой

Надо найти минимум этого выражения, учитывая, что а и связаны соотношением

Приведенные примеры читатель может решить сам, используя метод Лагранжа. Во втором примере легко убедиться, что при наивыгоднейшем расположении точки М выполняется условие

Это — известный закон преломления светового луча. Таким образом, световой луч преломляется при переходе из одной среды в другую так, что время его прохождения из точки одной среды в точку другой минимально. Такого рода выводы представляют уже не только вычислительный, но и большой познавательный интерес; они побуждают: точное естествознание к проникновению в более глубокие и общие закономерности природы.

Наконец, отметим, что множители вводимые при решении задач методом Лагранжа, не остаются только вспомогательными числами. Они оказываются всякий раз тесно связанными с существом частной задачи и приобретают в связи с ней конкретный смысл.