Существование минимумов поверхности M.

Мы будем говорить, что в точке а комплексной плоскости имеется минимум поверхности М, если значение апликаты точки поверхности М в этой точке а меньше или равно ее значениям во всех точках некоторой окрестности точки а, т. е. во всех точках некоторого, хотя бы очень маленького, кружка о центром в точке а.

Пусть апликата точки поверхности М, соответствующая началу, т. е. точке комплексной плоскости, равна Возьмем Все апликаты точек поверхности М не отрицательны и непрерывно изменяются при непрерывном передвижении точки z по комплексной плоскости. Поверхность М вне круга, описанного вокруг начала радиусом имеет апликаты в его центре имеет апликату -Даламбер считал очевидным следствием из этого, что где-нибудь внутри круга есть такая точка, в которой апликата наименьшая, точнее, в которой апликата точки поверхности М меньше или равна апликатам всех остальных точек круга т. е. что поверхность М имеет хотя бы один минимум.

Строгое доказательство существования такого минимума основывается на следующей аксиоме непрерывности совокупности действительных чисел.

Если заданы две последовательности действительных чисел: такие, что при всех при то существует одно и только одно действительное число с, такое, что при всех .

Геометрически свойство непрерывности означает, что если на прямой задана последовательность отрезков (рис. 4), таких, что каждый последующий содержится в предыдущем, и длины отрезков становятся сколь угодно малыми, то существует точка с, принадлежащая всем отрезкам последовательности. Иными словами, отрезки «стягиваются» к некоторой точке, а не к «пустому месту».

В силу того, что длина отрезка при увеличении стремится к нулю, такая точка с только одна. Из этого свойства непрерывности для совокупности действительных чисел, т. е. для совокупности всех точек на числовой оси, немедленно следует свойство непрерывности для комплексных чисел, т. е. для точек плоскости. Мы дадим геометрическую формулировку этого свойства.

Если на плоскости дана последовательность прямоугольников со сторонами, параллельными координатным осям, из которых каждый последующий содержится в предыдущем и диагонали которых неограниченно уменьшаются, то существует одна и только одна точка, принадлежащая всем прямоугольникам последовательности.

Рис. 4.

Это свойство непрерывности плоскости непосредственно следует из свойства непрерывности для прямой. Для доказательства достаточно спроектировать прямоугольники на координатные оси.

Теперь легко установить так называемую теорему Больцано — Вейерштрасса.

Если в некотором прямоугольнике задана бесконечная последовательность точек то внутри или на границе прямоугольника найдется такая точка в любой сколь угодно малой окрестности которой (т. е. внутри любого достаточно малого кружка с центром в точке существует бесконечно много точек из последовательности

Для доказательства обозначим заданный прямоугольник через Разобьем его на четыре равные части прямыми, параллельными осям координат. Хотя бы в одной из частей должно оказаться бесконечно много точек данной последовательности. Такую часть обозначим через Прямоугольник снова разобьем на четыре равные части и выберем из них ту в которой содержится бесконечно много точек данной последовательности, и т. д.

Получим последовательность вложенных прямоугольников диагонали которых безгранично убывают. По свойству непрерывности найдется точка принадлежащая всем построенным прямоугольникам. Она и будет искомой. Действительно, какую бы малую окрестность точки ни взять, прямоугольники последовательности начиная с некоторого, окажутся внутри этой окрестности, как только диагональ станет меньше радиуса окрестности, а каждый из прямоугольников содержит бесконечно много точек из последовательности Теорема Больцано — Вейерштрасса доказана.

Теперь уже легко доказать теорему о минимуме модуля многочлена. Пусть, как и раньше, — некоторое число, большее такое, что, при

Если то модуль многочлена имеет минимум в точке 0, так как во всех точках он 0.

Если для всех точек то тоже имеет в точке 0 минимум. Пусть и существуют точки в которых тогда в ряду чисел

найдем наибольшее такое, все значения Для следующего числа ряда найдется хотя бы одна точка такая, что

Будем бесконечно увеличивать n. Для всех имеет место ибо если то был бы больше С, а следовательно, и больше

Таким образом, все точки лежат внутри прямоугольника со стороной и с центром в начале координат. Быть может, некоторые из этих точек совпадают друг с другом.

По теореме Больцано — Вейерштрасса найдется точка в любой окрестности которой существует бесконечно много точек из последовательности

Установим, что точка как раз и доставляет искомый минимум Действительно, пусть z любая точка. Тогда

Это неравенство верно при любом . Если взять для такие значения, чтобы неограниченно приближалось к то, вследствие непрерывности]

I станет сколь угодно малым по абсолютной величине так же, как

Следовательно, действительно достигает минимума в точке