§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
В предыдущем параграфе мы рассмотрели попытки, длившиеся три столетия, дать решение в радикалах для уравнения 
степени. Вопрос оказался очень глубоким и трудным и привел к созданию новых идей, важных не только для алгебры, ной для всей математики в целом. Что же касается практического решения уравнений, то итогом всей этой огромной работы было следующее. Выяснилось, что решение в радикалах есть далеко не у всех алгебраических уравнений, а если оно и есть, то, в силу своей сложности, за исключением случая квадратного уравнения, оно мало пригодно для практики.
Ввиду этого математики давно стали работать над теорией алгебраических уравнений еще в трех совсем других направлениях, а именно: 1) над вопросом о существовании корня, 2) над вопросом о том, как по коэффициентам уравнения, не решая его, узнать что-нибудь о его корнях, например имеет ли оно действительные корни и сколько их; наконец, 3) над приближенным вычислением корней уравнения.
Прежде всего надо было доказать, что вообще всякое алгебраическое уравнение 
степени с действительными или комплексными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.
Теорему эту, являющуюся одной из самых важных теорем всей математики, долго не удавалось строго доказать. В силу фундаментальности и трудности доказательства ее называют обычно «основной теоремой алгебры», хотя, по существу дела, большинство ее доказательств относится по своему методу столько же к алгебре, сколько и к анализу бесконечно малых. Первое доказательство ее было дано Даламбером. В одном пункте доказательство Даламбера, как после выяснилось, оказалось недостаточным. А именно, Даламбер принимал за очевидную ту общую лемму анализа, что непрерывная функция, заданная на ограниченном и замкнутом множестве точек, имеет на нем где-нибудь минимум. Это верно, но это йадо было доказать. Строгое доказательство этого обстоятельства было получено только во второй половине XVIII в., т. е. через сто лет после исследований Даламбера.
Обычно считается, что первые строгие доказательства основной теоремы алгебры были даны Гауссом; однако некоторые из его доказательств для полной строгости требуют дополнений не меньших, чем их требует доказательство Даламбера. Сейчас известен ряд различных вполне строгих доказательств этой теоремы.
В настоящем параграфе мы рассмотрим доказательство основной теоремы алгебры, основанное на лемме Даламбера, причем приведем полное доказательство и упомянутой леммы анализа.
