Пример решения более сложной задачи.

Пусть задан эллипс и надо найти треугольник наименьшей площади, описанный вокруг этого эллипса. Решим сначала задачу для окружности. Покажем, что в случае окружности — это равносторонний треугольник. Действительно, пусть описанный треугольник неравносторонний, т. е. наименьший его угол (обозначим его В) меньше 60°, а наибольший Тогда, не меняя угла А, передвинем сторону в положение (рис. 67), перемещая вершину В к А до тех пор, пока один из углов станет равным 60°. Мы получим описанный треугольник с меньшей площадью, так как при этом будет и потому отброшенная площадь больше введенной Если полученный треугольник неравносторонний, то, повторяя второй раз все рассуждения, мы еще уменьшим его площадь и придем к равностороннему. Значит, всякий неравносторонний треугольник, описанный вокруг данной окружности, имеет большую площадь, чем равносторонний.

Вернемся теперь к эллипсу. Сделаем такое растяжение его от его большой оси, которое превратит его обратно в окружность, из которой он получен «сжатием». При таком растяжении (рис. 68): 1) все описанные вокруг эллипса треугольники обратятся в треугольники, описанные вокруг полученной окружности; 2) площади всех фигур, в частности и всех этих треугольников, увеличатся в одно и то же число раз

Рис. 67.

Рис. 68.

Отсюда мы видим, что наименьшими по площади треугольниками, описанными вокруг данного эллипса, будут те, которые превращаются в равносторонние треугольники, описанные вокруг окружности. Таких треугольников бесконечно много, их центры тяжести лежат в центре эллипса, точки касания будут в серединах их сторон. Всякий из них легко построить (рис. 68), исходя от упоминавшейся только что окружности.

«Сжатие» плоскости к прямой — это только частный случай более общих, так называемых аффинных, преобразований плоскости.

Общие аффинные преобразования. Мы будем называть координатным «репером» плоскости пару векторов исходящих из общего начала О и не лежащих на одной прямой; Координатами точки М плоскости по отношению к такому реперу Оехег будут тогда числа х, у такие, что для того, чтобы дойти от начала О до точки М, надо отложить х раз от точки О вектор и затем у раз вектор Это — общие декартовы координаты на плоскости. Аналогично определяются общие декартовы координаты в пространстве. Обычные так называемые прямоугольные декартовы координаты, которыми мы пользовались до сих пор, соответствуют тому частному случаю, когда координатные векторы взаимно перпендикулярны, а длины их равны длине той масштабной единицы, которой мы измеряем все отрезки.

Общее аффинное преобразование плоскости — это такое, при котором заданная сетка равных параллелограмов превращается в произвольную другую сетку равных параллелограмов. Точнее говоря, это такое преобразование плоскости, при котором заданный координатный репер Оегег

преобразуется в некоторый другой репер (вообще говоря, с другой «метрикой», т. е. с другими длинами своих векторов. и другим углом между ними), а любая точка М преобразуется в точку М, имеющую те же координаты относительно нового репера, какие М имела относительно старого (рис. 69).

Рис. 69.

«Сжатие» к оси с коэффициентом к есть такой частный случай, когда прямоугольный репер переходит в репер

Можно легко показать, что и при общем аффинном преобразовании любая прямая переходит в прямую, параллельные прямые переходят в параллельные, а если точка делит отрезок в некотором отношении, то ее образ делит образ этого отрезка в том же отношении. Кроме того, можно доказать замечательную теорему, что любое аффинное преобразование плоскости можно получить, сделав некоторое движение плоскости в себе, как жесткого целого, и затем два «сжатия», вообще говоря, с разными коэффициентами кг и кг, к некоторым двум взаимно перпендикулярным прямым;

Для доказательства этого утверждения рассмотрим все радиусы некоторой окружности преобразуемой плоскости (рис. 70). Пусть радиус — тот, который после преобразования оказывается самым коротким, пусть он превращается в Перпендикуляр к ОА превращается тогда в перпендикуляр же АВ к так как, если бы перпендикуляр отличался от то он был бы образом наклонной и тогда образ радиуса был бы частью перпендикуляра т. е. короче наклонной вопреки предположению.

Взаимно перпендикулярные прямые ОА и поэтому переходят во взаимно перпендикулярные Следовательно, квадратная сетка, построенная на ОА и переходит в сетку равных прямоугольников (рис. 71), и происходят равномерные «сжатия» вдоль прямых этой квадратной сетки.

Совершенно аналогично определяется общее аффинное преобразование пространства как такое, при котором пространственный координатный

репер преобразуется в некоторый другой репер , вообще говоря, с другой «метрикой», т. е. с другими длинами единичных отрезков и другими углами между ними, а точки точки М, имеющие такие же координаты относительно нового репера, какие имели точки М относительно старого.

Все перечисленные нами свойства имеются и у аффинных преобразований пространства, только в последней теореме, в случае пространства речь будет идти о движении пространства, как жесткого целого, и затем о трех «сжатиях» к трем взаимно перпендикулярным плоскостям с некоторыми коэффициентами

Рис. 70.

Рис. 71.