§ 8. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Первое последовательное изложение аналитической геометрии у Эйлера.
Важным этапом в развитии аналитической геометрии было появление в 1748 г. книги «Введение в анализ», во втором томе которой впервые было дано, между прочими вещами, относившимися к теории функций и другим разделам анализа, также и изложение аналитической геометрии на плоскости с подробным исследованием линий 2-го порядка, весьма близким к даваемому в современных учебниках аналитической геометрии, а также исследованием линий высших порядков. Это был первый курс аналитической геометрии в современном смысле слова.
Идея приведения уравнения к каноническому виду. Уравнение 2-й степени
содержит шесть членов, а не три или только два, как рассмотренные выше канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. И это не потому, что такое уравнение выражает более сложные линии, а потому, что система координат, по отношению к которой написано это уравнение, может быть к нему не приспособлена. Оказывается, что если разумно подобрать систему прямоугольных декартовых координат, то уравнение 2-й степени с двумя переменными всегда можно привести к одному из следующих каноническцх видов:
Эллипс
Мнимый эллипс
Точка (пара мнимых пересекающихся
в действительной точке прямых)
Гипербола
Пара пересекающихся прямых
Парабола
Пара параллельных прямых
Пара мнимых параллельных 
прямых
Пара совпадающих прямых
где 
не равны нулю.
Уравнения 1), 4) и 6) из перечисленных канонических видов нам уже известны; это канонические уравнения эллипса, гиперболы 
параболы. Два из них не удовлетворяются никакими точками, а именно уравнения 2) и 8).
В самом деле, квадрат действительного числа всегда положителен или нуль, поэтому в левой части уравнения 2) уже сумма членов 
не отрицательна, кроме того, есть член 
следовательно, левая часть не может равняться нулю; аналогично в уравнении 8) число 
не отрицательно, а 
положительно. Из тех же соображений следует, что уравнению 3) удовлетворяет только 
т. е. одна точка — начало координат. Уравнение 5) можно написать так: 
и тогда ясно, что ему удовлетворяют те и только те точки, для которых хотя бы одно из выражений 1-й степени — у или равно нулю, 
т. е. что линия, им выражаемая, есть совокупность этих пересекающихся прямых. Уравнение 7) аналогично дает 
т. е. соответственная линия есть пара параллельных прямых 
а. Наконец, линия 9) есть частный (предельный) случай линии 7), когда а 
т. е. это пара совпадающих прямых.
Рис. 37.
Рис. 38.
