§ 2. ФУНКЦИЯ

Понятие функция.

В природе предметы и явления органически связаны между собой, зависят друг от друга. Устойчивые простейшие связи издавна изучались людьми. Знания о них накапливались и формулировались как физические законы. В массе случаев это были указания на то, что разные величины, количественно характеризующие некоторое явление, тесно связаны между собой, полностью обусловливаются одна значением другой. Например, размеры сторон прямоугольника вполне определяют его площадь, объем данного газа при определенной температуре обусловливается его давлением, удлинение данного металлического стержня определяется его температурой и т. п. Подобные закономерности и послужили источником понятия функции.

Уже в алгебраической формуле, позволяющей по каждому значению входящих в нее буквенных величин находить значение величины, выражаемой формулой, заложено понятие функции. Приведем примеры функций, заданных формулами.

1. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в покое, а затем начала падать под воздействием силы тяжести. Тогда путь пройденный точкой за время выразится формулой

где — ускорение силы тяжести.

2. Из квадрата со стороной а сделана открытая прямоугольная коробка высотой х (рис. 2). Объем V коробки будет вычисляться по формуле

Формула (2) позволяет для каждой высоты х, удовлетворяющей, очевидно, неравенству найти объем коробки.

3. Пусть в центре круговой конькобежной дорожки врыт столб, и на нем, на высоте подвешен фонарь (рис. 3).

Рис. 2.

Освещенность Т дорожки может быть выражена формулой

где — радиус дорожки, — некоторая величина, характеризующая силу света фонаря. Зная высоту мы можем по формуле (3) вычислить Т.

4. Корень квадратного уравнения

вычисляется по формуле

Рис. 3.

Характерным для формулы вообще и для приведенных выше формул в частности является то, что формула дает возможность по любому наперед заданному значению, которое может принимать одна величина (время высота х, высота столба, коэффициент уравнения), называемая независимой переменной, вычислять значения другой величин (путь объем V, освещенность Т, корень х уравнения), которая носит название зависимой переменной или функции от первой величины.

Каждая из приведенных формул дает нам пример функции: путь пройденный точкой, есть функция временив; объем V коробки есть функция ее высоты освещенность Т дорожки есть функция высоты h столба; два корня квадратного уравнения (4) суть функции коэффициента .

Следует отметить, что в одних случаях независимая переменная может принимать любые наперед заданные числовые значения, как это

имеет место в примере 4, где коэффициент квадратного уравнения (4), являющийся независимой переменной, может быть произвольным числом. В других случаях независимая переменная принимает любое значение из некоторого заранее определенного множества (совокупности) чисел, как в примере 2, где объем коробки есть функция от его высоты которая может принимать любое значение из множества чисел х, удовлетворяющих неравенствам Точно так же в примере 3 освещенность Т дорожки есть функция высоты столба которая может теоретически принимать любые значения, удовлетворяющие неравенству а практически — любые значения удовлетворяющие неравенствам , где величина Н определяется имеющимися в распоряжении администрации катка техническими возможностями.

Приведем еще такие примеры. Формула

определяет действительную функцию, выражающую соответствие между действительными числами х и у, очевидно, не для всех х, а только для тех из них, которые удовлетворяют неравенствам формула — для значений х, удовлетворяющих неравенствам —

Таким образом, приходится считаться с тем обстоятельством, что конкретные функции могут быть заданными не обязательно для всех возможных числовых значений, а только на некотором множестве числовых значений х, чаще всего заполняющих на оси некоторый отрезок (с концами или без концов).

Мы уже можем сейчас дать такое определение понятия функции, которое принято в математике в настоящее время.

Величина у есть функция от (независимой) величины х, если существует закон, в силу которого каждому значению х, принадлежащему к некоторому множеству чисел, соответствует, определенное значение у.

Множество значений х, фигурирующее в этом определении, называется областью определения функции.

Каждое новое понятие часто порождает новую символику. Переход от арифметики к алгебре заключался в возможности построения формул, пригодных для любых числовых данных, — поиски общих решений привели к буквенной символике.

Задача анализа есть задача изучения функций — зависимостей одних величин от других; как в алгебре от конкретного числа переходят к произвольным числам — буквам, так и в анализе от конкретных формул мы переходим к произвольным функциям. Фразу «у есть функция от будем условно записывать так:

Как в алгебре для разных чисел употребляются разные буквы, так и в анализе для обозначения различных зависимостей — функций — употребляются различные обозначения: