Примеры вычисления производных.

Определение производной как предела дает возможность для каждой конкретной функции искать ее производную.

Рис. 12.

Сразу же надо оговорить, что возможны случаи, когда функция в той или иной точке или даже во многих точках просто не имеет производной, т. е. отношение вовсе не стремится к какому-либо конечному пределу. Этот случай заведомо имеет место во всякой точке разрыва функции так как при этом в отношении

числитель не стремится к нулю, тогда как знаменатель неограниченно убывает. Производной может не быть и в точке, где функция непрерывна. Простой пример тому дает точка излома (угла) на графике функции (рис. 12). В такой точке кривая графика не имеет определенной касательной, соответственно функция не имеет производной. Часто в таких точках выражение (10) приближается к разным значениям, в зависимости от того, приближается ли А к нулю справа или слева, а если стремится к нулю произвольным образом, то отношение (10) просто не имеет предела. Пример более сложного случая отсутствия производной дает функция

График этой функции приведен на рис. 13. В точке она не имеет производной, потому что, как видно из графика, в этом случае секущая не стремится к определенному положению даже тогда, когда , приближаясь к 0 с одной стороны. Секущая при этом все время колеблется от прямой к прямой и обратно. Соответственно отношение (10) в этом случае не имеет предела, даже когда стремится к нулю, сохраняя знак.

Рис. 13

Заметим, наконец, что можно задать чисто аналитически, при помощи формулы, функцию непрерывную, но не имеющую ни в одной точке производной. Пример такой функции впервые предложил выдающийся немецкий математик прошлого столетия Вейерштрасс.

Класс дифференцируемых функций, таким образом, значительно уже класса всех непрерывных функций.

Перейдем к фактическому вычислению производных простейших функций.

где с — постоянная. Постоянную можно рассматривать как частный случай функции, которая равна одному и тому же числу для любого График ее представляет собой прямую, параллельную оси отстоящую от этой оси на расстоянии с. Эта прямая образует с осью угол и, очевидно, производная от постоянной тождественно равна нулю: точки зрения механики это равенство означает, что скорость неподвижной точки равна нулю.

При получаем в пределе следовательно

— целое положительное число).

Все слагаемые правой части, начиная со второго, стремятся к нулю при поэтому

Эта формула остается верной при любом положительном и отрицательном, дробном и даже иррациональном, хотя доказывается это иначе. Мы воспользуемся этим фактом, не приводя его доказательства. Таким образом, например

Но, как мы выяснили уже, первая дробь при стремится к единице, очевидно, Итак, производная синуса равна косинусу

Предоставляем читателю, рассуждая таким же образом, показать, что

5) Выше (на стр. 99) уже было отмечено существование предела

Было также указано, что при вычислении этого предела не играет существенной роли то обстоятельство, что пробегает целые положительные значения. Важно, что бесконечно малая величина, добавляемая к единице, и бесконечно растущий по абсолютной величине показатель степени являются обратными друг другу величинами.

Принимая это утверждение, легко можно найти производную логарифма

Непрерывность логарифма позволяет в пределе заменить стоящую под знаком величину ее пределом, который равен

(в этом случае роль играет растущая величина . В результате мы получаем правило дифференцирования логарифма

Это правило становится особенно простым, если за основание логарифмов принято само число е. Логарифм с таким основанием называют натуральным логарифмом и обозначают Можем написать

или иначе,