§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

Алгебраическим уравнением степени с одной неизвестной называется уравнение вида

где — некоторые заданные коэффициентых.

Уравнения 1-й и 2-й степени.

Если уравнение 1-й степени, то оно имеет вид

и решается сразу

Уравнение 2-й степени

было решено в глубокой древности. Оно решается просто: переносят с обратным знаком в правую часть и, прибавляя затем к обеим частям, получают

Но

следовательно

откуда и получается известная формула решения квадратного уравнения

Уравнение 3-й степени.

Совершенно иначе было с уравнениями выше 2-й степени. Уже общее уравнение 3-й степени потребовало совершенно не очевидных соображений и не поддавалось всем усилиям математиков древности. Оно было решено лишь в начале 1500-х годов, в эпоху Возрождения в Италии, итальянским математиком Сципио дель Ферро. Ферро своего открытия, по обычаю того времени, не опубликовал, но сообщил одному из своих учеников. Уже после смерти Ферро ученик этот вызвал на Соревнование одного из крупнейших итальянских математиков — Тарталья — и предложил ему для решения ряд уравнений 3-й степени. Тарталья (1500—1557) вызов принял и за 8 дней до конца состязания нашел способ решить любое кубическое уравнение вида

За 2 часа он решил все задачи противника. Профессор математики и физики в Милане Кардан (1501—1576), узнав об открытии Тарталья, начал умолять Тарталья сообщить ему свою тайну Тарталья, в конце концов, согласился, но с условием, чтобы Кардан хранил его способ в глубоком секрете. Кардан нарушил обещание и опубликовал результат Тарталья в своем сочинении «Великое искусство» («Ars magna»).

Формула для решения кубического уравнения с тех пор называется формулой Кардана, хотя ее по справедливости надо было бы называть формулой Тарталья.

Вывод формулы Кардана получается так.

Во-первых, решение общего кубического уравнения

легко свести к решению кубического уравнения вида

не содержащего члена с квадратом неизвестной. Для этого достаточно положить Действительно, подставив это выражение в уравнение (1) и раскрывая скобки, получаем

где точками обозначены члены, в которые входит в 1-й степени или вовсе не входит. Мы видим, что члены, содержащие взаимно уничтожаются.

Пусть теперь задано уравнение

Положим т. е. вместо одной неизвестной введем две и и и тем самым превратим всю задачу в задачу с двумя неизвестными. Мы будем иметь

или

Какова бы ни была сумма двух чисел и всегда можно потребовать, чтобы произведение их равнялось любой наперед заданной величине. Если и а мы хотим, чтобы то, так как и, мы получаем

так что достаточно, чтобы и было корнем квадратного уравнения

а всякое квадратное уравнение имеет действительный или комплексный корень, получаемый по известной формуле. В нашем случае и равняется искомому корню х нашего кубического уравнения; потребуем чтобы

т. е. чтобы было При таком выборе и и мы получим

При этом, если мы найдем числа и и удовлетворяющие этой система уравнений, то число будет корнем нашего уравнения.

Из системы (3) легко образовать некоторое квадратное уравнение корнями которого будут Действительно, она дает

и, следовательно, по использованной уже выше теореме суть корни квадратного уравнения

Решая его по обычной формуле, мы получаем

и, следовательно,

это и есть формула Кардана.

Уравнение 4-й степени.

Вскоре после решения кубического уравнение было решено Феррари (1522—1565) и общее уравнение 4-й степени. При этом, если для решения уравнения 3-й степени понадобилось предварительное решение вспомогательного квадратного уравнения

где или то решение уравнения 4-й степени аналогично опирается на предварительное решение некоторого вспомогательного кубического уравнения.

Способ Феррари состоит в следующем. Пусть дано общее уравнение 4-й степени

Напишем его так:

и прибавим к обеим частям тогда слева получим полный квадрат

Прибавим теперь к обеим частям уравнения еще члены

где у — новая переменная, на которую мы далее наложим нужное на» условие, тогда слева получим опять полный квадрат

Таким образом, мы свели вопрос к задаче с двумя неизвестными. Справа в равенстве (4) имеем квадратный трехчлен от х, коэффициенты которого зависят от у. Подберем у так, чтобы этот трехчлен квадратом двучлена первой степени.

Для того чтобы квадратный трехчлен был квадратом двучлена , достаточно, чтобы

Действительно, если то

т. е.

где

Следовательно, если подобрать у так, чтобы

то правая часть уравнения (4) будет полным квадратом (аж Раскрывая скобки, получаем кубическое уравнение относительно у

Решив это вспомогательное кубическое уравнение (например, по формуле Кардана), мы через его корень найдем а и и будем иметь

откуда

Из этих двух квадратных уравнений мы и найдем все четыре корня заданного уравнения 4-й степени.

Так были решены итальянскими математиками в 1500-х годах алгебраические уравпения 3-й и 4-й степени.

Успех итальянских математиков произвел очень большое впечатление. То был первый случай, когда наука нового времени превзошла достижения древних. До того, в течение всех средних веков, ставили себе целью хотя бы понять сочинения древних, а тут, наконец, решили вопросы, которых древним решить не удалось. И это было в 1500-х годах, т. е. за столетие до изобретения новых исчислений: аналитической геометрии, дифференциального и интегрального, которые окончательно утвердили превосходство новой науки над старой. Не было после этого крупного математика, который не пытался бы продолжить достижения итальянцев и аналогично решить в радикалах уравнения 5-й, 6-й и высших степеней.

Выдающемуся алгебраисту XVII в. Чирнгаузену (1651—1708) даже показалось, что он, наконец, нашел общий метод решения. Метод его был основан на преобразовании уравнения к более простому, но это преобразование само требовало решения некоторых вспомогательных уравнений. Впоследствии, при более глубоком рассмотрении, оказалось, что метод преобразований Чирнгаузена Действительно дает решение уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени, но уже для уравнения 5-й степени требует предварительного решения вспомогательного уравнения 6-й степени, которое в свою очередь неизвестно как решить.