Теорема о среднем и примеры ее применения.

Дифференциал выражает приближенное значение приращения функции через приращение независимой переменной и производную в начальной точке. Если речь идет о приращении на участке от до то

Можно получить точное равенство такого типа, если заменить справа производную в начальной точке на производную в некоторой средней, удачно подобранной точке промежутка Точнее: если есть функция, дифференцируемая на отрезке то строго внутри его существует такая точка что имеет место точное равенство

Геометрический смысл этой «теоремы о среднем», известной под названием формулы Лагранжа или формулы конечных приращений, чрезвычайно прост. Пусть на графике функции точки А и В, отвечающие значениям соединены хордой (рис. 23). Будем переносить прямую А В, сдвигая ее параллельно самой себе вверх или вниз.

Рис. 23.

Тогда в тот момент, когда наша прямая будет пересекать график в последний раз, она будет касательной к нему в некоторой точке С. В этой точке (пусть ей соответствует касательная имеет тот же угол наклона а, что и хорда . Но у хорды

С другой стороны, в точке С

Равенство

и выражает как раз теорему о среднем.

Формула (22) своеобразна тем, что в ней фигурирует неизвестная нам точка , о которой мы знаем всякий раз только то, что она лежит где-то в промежутке Несмотря на такую неопределенность, эта формула имеет большое теоретическое значение, являясь средством доказательства многих теорем анализа. Непосредственное практическое значение ее тоже велико, так как она дает возможность оценить приращение функции, когда известны пределы колебания ее производной. Например,

Здесь — углы, выраженные в радианах; — некоторое значение между а и оно неизвестно, однако мы знаем, что

Из формулы (22) очевидно, что функция, у которой производная все время равна нулю, должна быть постоянной, она ни на каком участке не может получить отличного от нуля приращения. Читатель аналогичным путем легко теперь докажет, что функция, производная которой все время положительна, обязательно возрастает, а при отрицательной производной убывает. Укажем без доказательства на одно из обобщений теоремы о среднем

Для любых дифференцируемых в функций если только справедливо равенство

где — некоторая точка из промежутка

Из высказанного утверждения можно получить общий способ вычисления пределов вида

если Пользуясь формулой (23), замечаем, что

где находится между 0 и , а потому вместе с Это позволяет вместо предела (24) искать что в массе случаев чрезвычайно облегчает отыскание пределов.

Пример. Найти . Трижды применяя указанное правило, находим последовательно