Глава IV. АЛГЕБРА (ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ)

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Что такое алгебра и каковы ее характерные черты, всем хорошо известно, потому что элементарные, но основные сведения об алгебре даются уже в средней школе. Алгебра характеризуется прежде всего своим методом, заключающимся в употреблении букв и буквенных выражений, над которыми производятся преобразования по определенным правилам. В элементарной алгебре под буквами подразумевают обыкновенные числа, поэтому правила преобразований буквенных выражений основываются на общих правилах действий над числами. Например, сумма не зависит от порядка слагаемых, что записывается в алгебре так: при умножении суммы двух чисел можно помножить каждое из этих чисел в отдельности и затем сложить полученные произведения:

Если проследить доказательство какой-нибудь алгебраической теоремы, то легко убедиться, что оно зависит только от тех правил, по которым производят действия над буквами, но вовсе не зависит от того, что эти: буквы представляют.

Алгебраический метод, т. е. метод буквенных вычислений, пронизывает всю математику. Часто это находит свое выражение в том, что часть решения какого-нибудь математического вопроса представляет собою нечто иное, как более или менее сложную алгебраическую выкладку. Кроме того, в математике употребляют разные буквенные вычисления, в которых под буквами уже подразумевают не числа, а какие-либо другие объекты. При этом и правила действий над ними могут отличаться от правил элементарной алгебры. Например, в геометрии, механике и физике применяются векторы. Как известно, над векторами производят действия, правила которых отчасти такие же, как правила действий над числами, а отчасти существенно от них отличаются.

Значение алгебраического метода в современной математике и ее приложениях сильно возросло за последние десятилетия.

Во-первых, возросшие запросы техники заставляют доводить да численных результатов решение трудных задач математического анализа - что оказывается обычно возможным лишь после алгебраизации этих задач

а это в свою очередь ставит новые, иногда трудные, задачи самой алгебре.

Во-вторых, некоторые вопросы анализа стали ясными и доступными только после того, как к ним начали применять алгебраические методы, основанные на глубоком обобщении (на случай, когда неизвестных бесконечно много) теории систем уравнений 1-й степени.

Наконец, высшие разделы алгебры нашли применение в современной физике, а именно: основные понятия квантовой механики, оказывается, выражаются при помощи сложных и неэлементарных алгебраических объектов.

Основные черты истории алгебры следующие.

Прежде всего надо отметить, что точка зрения на то, что такое алгебра и в чем состоит основная задача алгебры, два раза видоизмелась: один раз в первой половине прошлого века, а другой раз — в начале нашего столетия. Таким образом, под алгеброй в разное время понимали последовательно три довольно разные вещи. Этим история алгебры отличается от истории трех знаменитых исчислений: аналитической геометрии, дифференциального и интегрального, которые, выкованные руками их создателей — Ферма, Декарта, Ньютона, Лейбница и других, дальше бурно развивались и дополнялись иногда новыми большими разделами, однако в принципе сравнительно мало видоизменяли свое лицо.

В дрёвние времена любое правило, найденное для решения некоторого класса математических задач, записывалось просто словами, так как буквенные обозначения еще не были придуманы. Самое слово «алгебра» производят от названия важнейшего сочинения хорезмского ученого IX в. Мухаммеда аль-Хорезми (см. главу I), в сочинениях которого приводятся первые общие правила для решения уравнений 1-й и 2-й степени. Однако введение самих буквенных обозначений обыкновенно связывают с именем Виета, который не только неизвестные, но и заданные величины начал обозначать буквами. Немало также сделал для развития буквенных обозначений Декарт, причем под буквами, конечно, понимались обыкновенные числа. С этого момента начинается собственно алгебра как наука о буквенных вычислениях, о преобразовании формул, составленных из букв, об алгебраических уравнениях и т. д., в отличие от арифметики, действующей всегда над конкретными числами. Только после этого даже и самые сложные математические соображения сделались легко обозримыми и доступными для изучения, так как, бросив взгляд на буквенную формулу, в большинстве случаев можно сразу видеть общее ее устройство — ее закон — и можно легко ее преобразовывать. В те времена всё в математике, что не есть ни геометрия, ни анализ бесконечно малых, называли алгеброй. Это — первая, так сказать виетовская, точка зрения на алгебру. Она особенно ясно выражена в известном «Введении в алгебру» члена Российской Академии наук, знаменитого Л. Эйлера, - книге, написанной в 60-х годах XVII в., т. е. 200 лет назад.

Алгебру Эйлер определяет как теорию вычислений с разными величинами. Его книга содержит в первой своей части теорию вычислений с целыми рациональными числами, обыкновенными дробями, квадратными и кубическими корнями, теорию логарифмов, прогрессии, теорию вычислений с многочленами, теорию биномиального ряда Ньютона и его приложений. Во второй части содержатся теория уравнений 1-й степени и их систем, теория квадратного уравнения и теория решения уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах, а также обширный раздел, в котором разбираются способы решения различных неопределенных уравнений в целых числах. Например, доказывается невозможность решения уравнения Ферма в целых числах х, у, z.

В конце XVIII и начале XIX в. постепенно одна из задач алгебры, а именно теория решения алгебраических уравнений, в которой основной трудностью является решение алгебраического уравнения степени с одной неизвестной

начала считаться центральной. Это произошло вследствие важности этой задачи для всей математики и ее приложений, а также ввиду трудности и глубины доказательств большинства связанных с нею теорем.

Всякому известна общая формула

при помощи которой решается любое квадратное уравнение. Итальянские алгебраисты XVI в. нашли аналогичные, хотя и более сложные общие правила для решения любых уравнений 3-й и 4-й степени. Дальнейшие исследования в этом деле для уравнений более высоких степеней, однако, натолкнулись на непреодолимые трудности. Величайшие математики XVI, XVII, XVIII и начала ХIХ в. (Тарталья, Кардан, Декарт, Ньютон, Эйлер, Даламбер, Чирнгаузен, Безу, Лагранж, Гаусс, Абель, Галуа, Лобачевский, Штурм и другие) создали грандиозный комплекс теорем и методов, связанных с этим вопросом. В двухтомной алгебре Серре (создавшей в свое время эпоху, так как в ней впервые излагалась вершина теории алгебраических уравнений — теория Галуа), появившейся в середине XIX в., ровно через сто лет после алгебры Эйлера, алгебра уже определяется как теория алгебраических уравнений. Это — вторая точка зрения на то, что такое алгебра.

Во второй половине прошлого столетия, исходя из идей Галуа, связанных с теорией алгебраического уравнения, были глубоко развиты теория групп и теория алгебраических чисел (в создании которой большую роль сыграл русский математик Е. И. Золотарев).

В этот же второй период в связи с той же задачей решения алгебраического уравнения, а также с теорией алгебраических многообразий

высших степеней, изучавшихся тогда в аналитической геометрии, развился в различных направлениях алгебраический аппарат — теория определителей и матриц, алгебраическая теория квадратичных форм и линейных преобразований и особенно теория инвариантов. В течение почти всей второй половины XIX в. теория инвариантов была одной из центральных тем алгебраических исследований. В свою очередь развитие теории групп и теории инвариантов оказало в этот период большое влияние на развитие геометрии.

Новая, третья точка зрения на то, что такое алгебра, появилась в основном в связи со следующим. Во второй половине прошлого века в механике, физике и самой математике начали все чаще и чаще изучаться такие объекты, для которых естественно рассматривать действия сложения и вычитания, а иногда и умножения и деления, однако действия эти подчинены уже другим законам, чем для рациональных чисел.

Мы уже говорили о векторах. Другие виды такого рода величин с другими законами операций над ними можно здесь только назвать: это матрицы, тензоры, спиноры, гиперкомплексные числа и т. д. Все эти величины обозначают буквами, но для разных видов этих величин законы операций отличаются друг от друга. Если для некоторого множества объектов (обозначаемых буквами) заданы некоторые операции и законы (правила), которым удовлетворяют эти операции, то говорят, что задана некоторая алгебраическая система. Третья точка зрения на то, что такое алгебра, состоит в том, что целью алгебры является изучение разных алгебраических систем. Это так называемая аксиоматическая или абстрактная алгебра. Абстрактная она потому, что на данном этапе все равно, что именно обозначают буквы в рассматриваемой алгебраической системе, нам важно только, каким аксиомам (законам) удовлетворяют рассматриваемые в системе операции. Аксиоматической же ее называют потому, что она строится, исключительно исходя из тех аксиом, которые положены в ее основание. Вернулись снова, но уже на высшей ступени, как бы к первой, виетовской, точке зрения на алгебру, что алгебра есть теория буквенных вычислений. Что же понимать под буквами — все равно, важны только те законы, которым удовлетворяют производимые над буквами операции, причем интересны, конечно, только такие алгебраические системы, которые имеют большое значение или в самой математике, или в ее приложениях.

Большой алгебраический материал, собранный в предыдущий период, послужил фактической основой для построения современной абстрактной алгебры.

В 30-х годах XX в. появился известный курс Ван дер Вардена «Современная алгебра», который сыграл большую роль в деле пропаганды этой третьей точки зрения на то, что такое алгебра. В таком же направлении написан курс алгебры А. Г. Куроша.

В настоящем столетии алгебра получила глубочайшие приложения к геометрии (к топологии и к теории групп Ли) и, как мы об этом уже говорили выше, к современной физике (функциональный анализ и квантовая механика).

В самое последнее время стали особенно важными вопросы о механизации алгебраических вычислений при помощи различных математических вычислительных машин, особенно при помощи быстродействующих электронных машин. Вопросы, связанные с этой машинной математикой, поставили новые своеобразные задачи алгебре.

В настоящей книге, кроме этой главы, алгебре посвящены еще две: линейная алгебра (глава XVI, том 3) и теория групп и других алгебраических систем (глава XX, том 3).