§ 8. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ

1. Теперь мы можем, опираясь на все изложенное, перейти к общим выводам о сущности математики.

Сущность математики была выражена Энгельсом в одном из разделов «Анти-Дюринга», и мы приведем здесь этот замечательный отрывок.

В формулировках Энгельса читатель легко узнает то, что говорилось выше, например, по поводу арифметики и геометрии; и это понятно: мы излагали фактическую историю возникновения и развития математики, руководствуясь в ее понимании диалектическим материализмом. Диалектический материализм приводит к верным выводам именно потому, что он ничего не навязывает фактам, но рассматривает факты, как они есть, т. е. в их необходимых связях и развитии.

Свое изложение сущности математики Энгельс начинает с критических замечаний по поводу вздорных взглядов Дюринга, в частности по поводу ложного мнения, будто математика занимается творениями «чистого разума» независимо от опыта. Энгельс пишет:

«Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного

мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, х и у, постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума, а именно — до мнимых величин. Точно так же выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их рациональную взаимную связь. Прежде чем притти к мысли выводить форму цилиндра из вращений прямоугольника вокруг одной из его сторон, нужно было исследовать некоторое количество реальных прямоугольников и цилиндров, хотя бы и в очень несовершенных формах. Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики. Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные от реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так было с обществом и государством, так а не иначе, чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, — и собственно только поэтому может вообще применяться»

2. Таким образом, Энгельс подчеркивает, что математика отражает действительность, что возникла она из практических нужд людей и возникновение

ее первых понятий и положений было результатом долгого, опирающегося на опыт исторического развития. Мы уже достаточно подробно проследили это на примере арифметики и геометрии.

Мы убедились, в частности, что именно так возникли понятия числа, величины, геометрической фигуры и что они отражают реальные количественные отношения и пространственные формы действительности. Точно так же основные понятия анализа отражают реальные количественные отношения, они складывались постепенно на основе обобщения громадного конкретного материала; так, понятие функции отражает в обобщенной, абстрактной форме резнообразные зависимости между реальными величинами.

Суммируя все это, Энгельс и приходит к основному выводу о том, что математика имеет своим предметом определенный вполне реальный материал, но рассматривает его в полном отвлечении от конкретного содержания и качественных особенностей. Этим, как мы видим, математика отличается от естественных наук, и Энгельс явно отделяет ее от естествознания

Возможность такого абстрактного рассмотрения предмета математики имеет объективное основание в самом этом предмете. Те общие, не зависящие от качественных особенностей или конкретного содержания, формы, отношения, взаимосвязи и законы, которые отражаются в математике, существуют объективно, независимо от нашего сознания. Только существование числа как объективного свойства совокупности предметов, независимость взаимоотношений: между числами от качественных особенностей предметов, богатство этих взаимоотношений сделали возможной арифметику. Там, где нет таких общих форм и отношений, безразличных к содержанию, невозможно и математическое рассмотрение.

3. Указанная основная особенность математики определяет другие характерные ее особенности. В § 2 мы рассматривали некоторые из них специально на примере арифметики. Это — специфический «язык формул», широта приложений, отвлеченный от опыта характер математических выводов, их логическая неизбежность и убедительность. Этот умозрительный характер математики является весьма существенной ее особенностью, и мы рассмотрим эту особенность подробнее.

Если мы отвлекли, скажем, понятие числа от его конкретных оснований и рассматриваем целые числа вообще, вне всякого отношения к тем или иным конкретным совокупностям предметов, то само собой ясно, мы не можем производить опытов над такими отвлеченными числами. Оставаясь на этом уровне абстракции и не возвращаясь к конкретным предметам, можно получать новые выводы о числах только путем рассуждения, исходя из самого понятия о числе. То же относится, конечно, ко всем другим математическим выводам. Оставаясь в пределах чистой геометрии,

т. е. рассматривая геометрические фигуры в полном отвлечении от всякого качественного, конкретного содержания, мы не можем получить новых выводов иначе как рассуждением, исходя из самого понятия о той или иной фигуре, из самих основных понятий или аксиом геометрии. Так, свойства круга выводят из понятия о круге как геометрическом месте точек, равноудаленных от данной точки, вовсе не думая уже о проверке каждой теоремы на опыте.

Стало быть, отвлеченный характер математики уже предопределяет тот факт, что математические теоремы доказываются только рассуждением, исходя из самих понятий.

Можно сказать, что в математике исследуют количественные отношения, имея в виду лишь то, что содержится в самом их определении. Соответственно математические выводы получают рассуждением, исходя из определений. Конечно, было бы неправильно понимать эти слова слишком буквально и предполагать, что достаточно строгие определения математических понятий действительно формулировались раньше, чем создавалась соответствующая математическая теория; на самом деле самые понятия уточнялись вместе с развитием теории, в результате ее развития. Глубокий анализ понятия о целом числе, так же как точная формулировка аксиом геометрии, были даны не в древности, а к концу XIX в. Тем более неверно думать, будто есть какое-либо абсолютно точно определенное математическое понятие. Всякое понятие, как бы ни казалось оно точно определенным, все-таки подвижно, оно развивается и уточняется с развитием науки. Это вполне доказано развитием математики в отношении всех ее понятий и это только лишний раз подтверждает основное положение диалектики о том, что нет на свете ничего такого, что было бы совершенно неподвижно и никак не развивалось бы. Поэтому и в отношении математических понятий можно говорить, во-первых, только о достаточной, но никак не совершенной их определенности, а во-вторых, нужно иметь в виду, что точность и ясность их определения, глубина их анализа развиваются с развитием математики. На этой подвижности математических понятий мы еще будем иметь случай остановиться в следующем параграфе, а сейчас, имея в виду сделанное замечание, обращаем внимание именно на достаточную их определенность.

Именно эта определенность математических понятий вместе с общезначимостью самой логики оказываются причиной характерной для математики внутренней убедительности и логической необходимости ее выводов. Неизбежность умозрительных выводов математики дает повод к ошибочному представлению, будто математика имеет основание в чистом мышлении, будто она априорна, а не исходит из опыта, будто она не отражает действительности. К такого рода взглядам пришел, например, знаменитый немецкий философ Кант. Это глубоко ошибочное идеалистическое представление происходит, в частности, от того, что математику рассматривают не в ее реальном возникновении и развитии, а в готовом виде. Но

такой подход совершенно несостоятелен уже по той простой причине, что не соответствует фактическому положению дел. То, что математика не априорна, а возникла из опыта, — это твердо установленный факт. Кстати, о фактическом возникновении геометрии писал еще Эвдем Родосский, которого мы цитировали в § 3.

Не только самые понятия математики, но и ее выводы, ее методы отражают действительность. Это важное обстоятельство как раз и вскрывает Энгельс, когда пишет, что «выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхожу дение, а только их рациональную взаимную связь». Математические выводы и доказательства возникли как отражение реальных связей, которые люди исследовали на опыте. Сложение чисел отражает реальное соединение нескольких совокупностей предметов в одну. Известное доказательство теоремы о равенстве треугольников, в котором говорят об их наложении, несомненно, имеет своим источником операцию фактического прикладывания предметов друг к другу, которая постоянно производится при сравнении их размеров. Вычисление объемов интегрированием отражает в абстрактной форме реальную возможность складывать тела из тонких слоев или резать их на такие слои. Более сложные математические доказательства есть результат дальнейшего развития, исходящего из таких материальных оснований.

4. Полное отвлечение предмета математики от всякой конкретности и основанный на этом умозрительный характер математических выводов влекут за собою другую важную особенность математики: в математике исследуют не только такие количественные отношения и пространственные формы, которые непосредственно абстрагируются из действительности, но и такие отношения и формы, которые определяются внутри самой математики на основе уже сложившихся математических понятий и теорий. Именно на эту особенность математики обращает внимание Энгельс, когда, указав на возникновение понятий точки, линии, постоянной и переменной величины, говорит: «... и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума, а именно — до мнимых величин».

Историческим фактом является то, что мнимые числа не были взяты из действительности в том же смысле, как, скажем, целые числа. Они появились первоначально внутри самой математики, из необходимого развития алгебры, как корни уравнений вида (где а > 0). И хотя постепенно с ними начали оперировать довольно свободно, их реальный смысл оставался долго неясным, почему за ними и закрепилось название «мнимых». Потом было открыто их геометрическое истолкование и они нашли многочисленные важные применения. Точно так же геометрия Лобачевского возникла как продукт творчества этого великого ученого; он не видел еще ее реального значения и называл ее потому «воображаемой

геометрией». Но она была не свободной игрой ума, а неизбежным выводом из основных понятий геометрии, и Лобачевский рассматривал ее как возможную теорию пространственных форм и отношений. Поэтому «свободное творчество и воображение», о которых говорит Энгельс, нельзя понимать как простой произвол мысли. Свободное творчество в науке — это осознанная логическая необходимость, определяющаяся исходными, взятыми из опыта понятиями и положениями.

На новом этапе развития математики, начало которому положило как раз построение геометрии Лобачевского и точной теории мнимых чисел, возникли и постоянно возникают новые понятия и теории, создаваемые на основе уже сложившихся понятий и теорий без того, чтобы заимствовать их непосредственно из действительности. Математика определяет и исследует возможные формы действительности, что как раз и составляет одну из решающих особенностей последнего этапа её развития.

Правильное понимание этой особенности дает теория познания диалектического материализма. Ленин писал: «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов....» Метафизический материализм также признает познание, в частности математику, отражением природы. Однако, как отмечает Ленин, беда метафизического материализма состоит в неумении применить диалектику к теории отражения 2. Метафизический материализм не понимает сложности этого отражения, не понимает того, что оно идет через ряд абстракций, путем формирования новых понятий, построения новых теорий на основе уже сложившихся понятий и теорий, путем рассмотрения не только данного в опыте, но и возможного. Между тем такой переход от данного к возможному обнаруживается уже в образовании таких понятий, как любое целое число или бесконечная прямая, потому что в опыте не даны ни сколь угодно большие числа, ни бесконечные прямые. Но когда понятие числа выкристаллизовалось, то из самого этого понятия, из самого закона образования последовательных чисел путем прибавления единицы выявилась возможность бесконечного продолжения числового ряда. Совершенно так же из проведения прямых выявилась возможность неограниченного продолжения прямой, выраженная во втором постулате Эвклида: «каждую прямую можно неограниченно продолжить». Дальнейший процесс абстракции привел к понятиям о всем натуральном ряде чисел и о всей бесконечной прямой. На последнем этапе развития математики качественно новым явилось построение теорий, идущих через ряд абстракций и формирования понятий. Но, восходя по этим ступеням абстракции, математика вовсе не отрывается от действительности

Новое вырастает в ней на основе отражения действительности, вследствие логики самого ее предмета, и именно в силу этого возвращается к действительности в применениях к проблемам физики и техники. Так было с мнимыми числами. То же верно в отношении других математических теорий, как бы ни были они абстрактны.

Характерный пример представляют теории различных многомерных пространств. Они складывались как обобщение эвклидовой геометрии, в соединении с развитием алгебры и анализа, под влиянием механики и физики. Сочетание этих идей привело Римана к построению общей теории, которая была развита дальше другими математиками, нашла ряд важных приложений и, наконец, послужила готовым математическим аппаратом для построения Эйнштейном общей теории относительности, точнее, теории тяготения. Абстрактные геометрические теории нашли такие блестящие приложения не случайно, не вследствие «предустановленной гармонии природы и разума», а вследствие того, что сами они выросли на почве геометрии, возникшей непосредственно из опыта, и в своем возникновении связывались их творцами с задачей исследования реального пространства. Риман, в частности, прямо предвидел связь своей теории с теорией тяготения.

Так, в развитии математики осуществляется закон движения познания, формулированный В. И. Лениным: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит — если оно правильное ... — от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности».

Из сказанного ясно, что совершенно ложным является идеалистический взгляд, будто математические теории представляют собой только условные схемы, предназначенные для описания данных опыта или «упорядочения потока ощущений» на основе «принципа экономии мышления».

Энгельс отмечает (см. цитату на стр. 61), что положения математики, абстрагированные от реального мира, как бы противопоставляются ему и применяются к его изучению, как некоторые готовые схемы. Мы, действительно, постоянно пользуемся, например, счетом, применяя его в готовом виде. Тем более это верно в отношении теорий, возникающих на более высоких ступенях абстракции. В качестве примера уже упоминалось, что риманова геометрия послужила готовой математической схемой для теории тяготения. Но Энгельс объясняет, что возможность такого применения математики к исследованию реального мира основана на том, что она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих

сущих ему форм связей и собственно только потому может вообще применяться. Тот факт, что многие теории создаются внутри самой математики, ничего здесь не меняет. Возникая как теории возможных форм действительности, они вовсе не условны, потому что возникают необходимо, вследствие самой логики предмета и именно поэтому находят реальные применения. Так или иначе, математические теории отражают действительность и различие состоит лишь в том, что это отражение в одних случаях более непосредственно, тогда как в других идет через ряд абстракций, образования понятий и т. д.

5. Последний этап в развитии математики характерен не только более высокими ступенями абстракции, он характерен еще существенным расширением ее предмета, выходящего за рамки первоначального понимания количественных отношений и пространственных форм.

Фигуры в многомерных или бесконечномерных пространствах — это, конечно, не пространственные формы в обычном смысле, как их понимаем мы все, когда имеем в виду обычное реальное пространство, а не абстрактные пространства математики. Эти пространства имеют реальный смысл и отражают в отвлеченном виде определенные формы действительности, но эти формы только сходны с пространственными; поэтому в отношении к обычному реальному пространству их можно назвать «про-странственно-подобными». Говоря о многомерном пространстве и о фигурах в нем, мы тем самым придаем понятию пространства новое содержание, так что необходимо ясно различать обобщенное абстрактное понятие пространства в математике, с одной стороны, и понятие пространства в его исходном смысле универсальной формы существования материи, с другой.

Другим примером выхода предмета математики за пределы пространственных форм и количественных отношений в первоначальном смысле этих слов может служить возникновение в конце прошлого века новой дисциплины — математической логики, достигшей теперь широкого развития. Предметом ее рассмотрения является строение математических выводов, иными словами, она изучает, какие предложения можно выводить из данных посылок данными средствами. Она исследует свой предмет, как это свойственно именно математике, в полном отвлечении от содержания и потому заменяет предложения формулами, а правила умозаключения — правилами оперирования с этими формулами. Отношения между посылками и заключением, аксиомами и теоремами, конечно, не сводятся к пространственным формам или в обычном смысле к количественным отношениям, скажем, к отношениям объемов понятий.

В качестве другого примера укажем на теорию групп, которую можно понимать как учение о симметрии в самом общем виде. Однако изменение симметрии кристалла, скажем, при переходе серы из ромбической формы в призматическую, есть коренное качественное изменение состояния

вещества. Таким образом, теория групп есть учение о таких величинах или о таких определенностях предметов, изменение которых сопровождается коренным изменением самих предметов.

Итак, расширение предмета математики ведет к существенному расширению самого понятия количественных отношений и пространственных форм. Каковы же в таком случае характерные общие черты этого расширяющегося предмета математики?

Если отвечать на этот вопрос не перечислением, а постараться выяснить то общее и характерное, что есть в предмете математики при всем его разнообразии, то ответ мы находим по существу у Энгельса. Достаточно принять во внимание не только его указание на предмет математики, но также и на способ рассмотрения этого предмета: полное отвлечение форм и отношений от содержания. Этот абстрактный характер математики дает одновременно также определение ее предмета.

Предмет математики составляют те формы и отношения действительности, которые объективно обладают такой степенью безразличия к содержанию, что могут быть от него полностью отвлечены и определены в общем виде с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы служить основанием для чисто логического развития теории. Если такие отношения и формы и называть количественными в общем смысле слова, то можно коротко сказать, что математика имеет своим предметом количественные отношения и формы, взятые в их чистом виде..

Абстракция отнюдь не является привилегией математики. Однако другие науки интересуются прежде всего соответствием своих абстрактных схем какому-либо вполне определенному кругу явлений и включают как одну из важнейших задач исследование границ применимости к данному кругу явлений уже сложившейся системы понятий и соответствующей смены применяемой системы абстракций. Математика, напротив, исследуя общие свойства в полном отвлечении от конкретных явлений, рассматривает сами эти системы абстракций в их отвлеченной общности, вне границ их применимости к отдельным конкретным явлениям. Можно сказать, что для математики характерно своего рода абсолютизирование ее абстракций.

Именно указанное объективное безразличие к содержанию исследуемых в математике форм определяет основные особенности математики: ее умозрительный характер, логическую необходимость и кажущуюся непреложность ее выводов, возникновение внутри нее новых понятий и теорий; этим же безразличием к содержанию обусловлены особенности приложений математики. Когда мы смогли перевести практическую задачу на язык математики, мы одновременно смогли отвлечься от второстепенных конкретных особенностей задачи и, пользуясь общими формулами и выводами, получить определенный результат. Отвлеченность математики составляет, таким образом, ее силу, и эта отвлеченность практически необходима.

6. Возвращаясь теперь к суждению Энгельса о математике, мы видим, какая глубина и богатство содержания, какие возможности развития заключаются в этом суждении. Не будучи сам математиком, он дал столь глубокий анализ основ этой науки не только потому, что был гениальным мыслителем но, что самое главное, потому, что владел диалектическим материализмом и руководствовался им в задаче выяснения сущности математики. Не мудрено поэтому, что никто до Энгельса и не мог дать столь глубокого и верного решения этого вопроса. Самые крупные математики не могли его решить в таком объеме.

Точно так же в дальнейшем Ленин дал такой анализ проблемы физики, который превосходит все, сделанное в этой области,

Это доказывает лишний раз значение и силу диалектического материализма; это доказывает, что для овладения наукой недостаточно знания ее отдельных положений, недостаточно даже быть творческим работником в этой науке — для этого нужно еще владеть верным общим методом, владеть диалектическим материализмом. Без этого выводы науки либо будут казаться бесформенной грудой, либо представляться в искаженном виде; вместо верного понимания науки получится ложное, метафизическое, идеалистическое представление о ней. Так, например, многие математики, не владеющие диалектическим материализмом, либо вовсе не ориентируются в общих вопросах своей науки, либо трактуют их совершенно неверно.

В то время, когда Энгельс писал «Анти-Дюринг», т. е. в 1876-1877 гг., неэвклидова геометрия и геометрия многомерных пространств только что получили признание среди математиков, теория групп только оформилась, теория множеств только что возникала, а математическая логика лишь зарождалась. Поэтому понятно, что особенности нового этапа в развитии математики не могли быть детально отражены Энгельсом; и тем не менее, в его суждениях мы находим указания и для их понимания.