Важнейшие применения аффинных преобразований

1) Применение в геометрии для решения задач на аффинные свойства фигур, т. е. такие свойства, которые сохраняются при аффинных преобразованиях. Теорема о диаметрах эллипса и задача об описанном треугольнике были примерами таких задач. Для решения подобных задач аффинно преобразуют фигуру в какую-нибудь более простую, на ней обнаруживают искомое свойство и затем возвращаются к исходной фигуре.

2) Применение в аналитической геометрии для классификации линий и поверхностей 2-го порядка. Дело в том, что, как можно доказать, различные эллипсы родственны друг другу в том смысле, что получаются друг из друга аффинными преобразованиями (affinis собственно и значит по-латински родственный). Также и все гиперболы аффинны друг другу и все параболы аффинны друг другу. Но эллипс в гиперболу или параболу или гипербола в параболу уже не могут быть превращены ни при каком аффинном преобразовании, т. е. они аффинно друг другу не родственны. Естественно разбить все линии 2-го порядка на аффинные классы аффинно родственных друг другу линий. Оказывается, что приведение уравнения к каноническому виду как раз и дает эту классификацию, т. е. что аффинных классов линий 2-го порядка Девять. (Мы не будем входить в подробности того, почему мнимые эллипсы и пары мнимых параллельных прямых относят к разным аффинным классам. Ни в том, ни в другом случае кривых на плоскости, собственно говоря, нет. Речь идет уже об алгебраических свойствах самого уравнения.)

Аналогично классификация поверхностей 2-го порядка по их каноническим уравнениям на 17 видов есть также аффинная классификация.

Дадим несложный пример применения аффинной классификации поверхностей 2-го порядка. Покажем, что если произвольно выбрать в пространстве три прямые , такие, что 1) любые две из них не лежат в одной плоскости (т. е. скрещиваются) и 2) все три не параллельны одновременно одной и той же плоскости, то совокупность всех прямых пространства, из которых каждая одновременно пересекает все три рассматриваемые прямые и с (рис. 72), образует полную поверхность некоторого однополостного гиперболоида.

Поясним, о какой совокупности прямых мы здесь говорим. Через любую точку А прямой а можно провести плоскость Р, содержащую прямую и плоскость содержащую прямую с. Эти плоскости Р и пересекутся по той единственной прямой которая проходит через точку А прямой а и пересекает прямые b и с.

Рис. 72.

Рис. 73.

Проводя такие прямые через любую точку прямой а, мы получим совокупность всех прямых пространства, из которых каждая пересекает все три заданные прямые о, и с. Эта совокупность прямых образует некоторую поверхность. Заметим, что всякий заданный однополостный гиперболоид можно получить таким способом, стоит лишь за прямые и с взять три разные прямолинейные образующие одного семейства (рис. 73), а за прямые все образующие другого семейства. Пусть, наоборот, даны три какие угодно попарно скрещивающиеся прямые пространства , одновременно не параллельные одной и той же плоскости. Тогда, как можно показать, они всегда суть прямые трех попарно не имеющих общих точек ребер некоторого параллелепипеда (рис. 74). Построив так параллелепипеды для заданных прямых и для трех образующих одного и того же семейства какого угодно однополостного гиперболоида, сделаем то аффинное преобразование пространства, которое преобразует параллелепипед в параллелепипед ; оно, очевидно, преобразует этот гиперболоид в рассматриваемую поверхность. Но в силу аффинной классификации поверхностей

2-го порядка аффинный образ однополостного гиперболоида есть снова однополостный гиперболоид.

3) Применение к теории непрерывных преобразований сплошной среды, например в теории упругости, в теории течения жидкости, в теории электрического или магнитного поля и т. д. Очень малые элементы рассматриваемой сплошной среды преобразуются «почти» аффинно. Как говорят, «в малом преобразование линейно» (линейными называются выражения 1-й степени, а в следующем пункте мы увидим, что в аналитической геометрии формулы аффинных преобразований именно 1-й степени).

Рис. 74.

Рис. 75.

Рис. 76.

Это видно на рис. 75. На прямых крупной квадратной сетки ясно заметно их искривление, расхождение «веером» и т. д. Для небольшого же кусочка весьма густой квадратной сетки все это уже весьма мало сказывается, и он преобразуется «почти» в сетку равных параллелограмов. Аналогичная картина получается и в пространстве (рис. 76). В силу того, что вснкое аффинное преобразование пространства сводится к движению и трем взаимно перпендикулярным «сжатиям», отсюда следует, что элемент тела при упругой его деформации, во-первых, передвигается, как жесткое тело, и, кроме того, подвергается трем взаимно перпендикулярным «сжатиям».