Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВИдея инварианта. Инварианты уравнения 2-й степени с двумя переменными.Во второй половине прошлого века было введено еще одно важное новое понятие — понятие инварианта. Рассмотрим, например, многочлен 2-й степени с двумя переменными
Если рассматривать х, у как прямоугольные координаты и производить преобразование их к новым прямоугольным осям, то после подстановки в (23) вместо х, у их выражений через новые координаты х, у, раскрытия скобок и приведения подобных членов мы получим новый преобразованный многочлен с другими коэффициентами
Оказывается, существуют такие выражения, составленные из коэффициентов, которые при этом преобразовании численно не меняются, хотя сами коэффициенты и меняются. Такое выражение от Выражения такого рода называются инвариантами многочлена (23) по отношению к группе ортогональных преобразований (т. е. но отношению к преобразованиям от одних прямоугольных координат х, у к любым другим прямоугольным координатам Такими инвариантами, оказывается, будут
т. е.
Можно доказать важную теорему, что любой ортогональный инва риант многочлена (23) выражается через эти три основных инварианта. Если мы приравняем многочлен (23) нулю, то получим уравнение некоторой линии 2-го порядка. Всякая величина, связанная с самой этой линией, а не с ее расположением на плоскости, очевидно, не будет зависеть от того, в каких координатах написано ее уравнение и поэтому, если она выражается как-нибудь через коэффициенты, это выражение будет ортогональным инвариантом многочлена (23) и, следовательно, в силу высказанной теоремы будет выражаться через эти три основных инварианта. Сверх того, так как при умножении на любое заданное число Проверим это на примере. Пусть, например, уравнение
выражает некоторый эллипс. Так как это уравнение вполне задает этот эллипс, то при помощи него, т. е. при помощи его коэффициентов, можно вычислить все основные величины, связанные с этим эллипсом. Например, можно вычислить его полуоси а и его коэффициенты. Выражения эти будут инвариантами и, следовательно, будут как-то выражаться через
причем выражение это однородно относительно Из сказанного видно, что сами инварианты
хотя и может изменяться при параллельных переносах, но не изменяется при чистых поворотах заданных прямоугольных осей, — это так называемый полуинвариант. Чтобы дать пример применения инвариантов и полуинвариантов, приведем следующую таблицу, которая, если вычислить
В этой таблице выписаны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы уравнение линии 2-го порядка приводилось к тому или иному из девяти канонических видов Пусть, например, дано уравнение
Коэффициенты «приведенных» уравнений (I), (И) и (III) выражаются через инварианты и полуинварианты так:
где и — корни так называемого характеристического квадратного уравнения
Формулы (I—III) позволяют сразу вычислять полуоси а и
Совершенно аналогичная теория инвариантов и полуинвариантов, соответствующая таблица для определения аффинного класса и формулы коэффициентов приведенных уравнений могут быть выведены для поверхностей 2-го порядка в трехмерном пространстве. Надо сказать, что все вышеизложенное освещает только смысл и значение тех инвариантов, которые рассматриваются в аналитической геометрии для линий и поверхностей 2-го порядка. Само понятие инварианта имеет, однако, несравненно более широкое значение. Инвариантом некоторого изучаемого объекта по отношению к некоторым рассматриваемым его преобразованиям называется всякая величина (численная, векторная и т. Другой пример. Объект — данная масса данного газа при данной температуре. Преобразования — изменение объема или давления этой массы газа. Инвариант, по закону Бойля-Мариотта, произведение объема на давление. Можно говорить о длинах отрезков в пространстве или величинах углов, как инвариантах группы движений пространства, об отношениях, в которых точки делят отрезки, или об отношениях площадей, как об инвариантах группы аффинных преобразований пространства, и т. д. Особенно важное значение имеют различные инварианты в физике.
|
1 |
Оглавление
|