§ 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ

Идея инварианта. Инварианты уравнения 2-й степени с двумя переменными.

Во второй половине прошлого века было введено еще одно важное новое понятие — понятие инварианта.

Рассмотрим, например, многочлен 2-й степени с двумя переменными

Если рассматривать х, у как прямоугольные координаты и производить преобразование их к новым прямоугольным осям, то после подстановки в (23) вместо х, у их выражений через новые координаты х, у, раскрытия скобок и приведения подобных членов мы получим новый преобразованный многочлен с другими коэффициентами

Оказывается, существуют такие выражения, составленные из коэффициентов, которые при этом преобразовании численно не меняются, хотя сами коэффициенты и меняются. Такое выражение от имеет ту же численную величину, какую оно имело бы, если бы его составить из

Выражения такого рода называются инвариантами многочлена (23) по отношению к группе ортогональных преобразований (т. е. но отношению к преобразованиям от одних прямоугольных координат х, у к любым другим прямоугольным координатам

Такими инвариантами, оказывается, будут ,

т. е.

Можно доказать важную теорему, что любой ортогональный инва риант многочлена (23) выражается через эти три основных инварианта.

Если мы приравняем многочлен (23) нулю, то получим уравнение некоторой линии 2-го порядка. Всякая величина, связанная с самой этой линией, а не с ее расположением на плоскости, очевидно, не будет зависеть от того, в каких координатах написано ее уравнение и поэтому, если она выражается как-нибудь через коэффициенты, это выражение будет ортогональным инвариантом многочлена (23) и, следовательно, в силу высказанной теоремы будет выражаться через эти три основных инварианта. Сверх того, так как при умножении на любое заданное число отличное от нуля, всех шести коэффициентов рассматриваемого уравнения, линия, им выражаемая, остается прежней, то выражение через всякой величины, связанной с самой линией, должно быть непременно таким, чтобы при умножении в нем F на число в нем сокращалось. Рассматриваемое выражение, как говорят, должно быть однородным нулевой степени по отношению к

Проверим это на примере. Пусть, например, уравнение

выражает некоторый эллипс. Так как это уравнение вполне задает этот эллипс, то при помощи него, т. е. при помощи его коэффициентов, можно вычислить все основные величины, связанные с этим эллипсом. Например, можно вычислить его полуоси а и т. е. можно выразить полуоси через

его коэффициенты. Выражения эти будут инвариантами и, следовательно, будут как-то выражаться через Путем приведения уравнения к каноническому виду и некоторых дальнейших вычислений действительно получается следующее (довольно сложное) выражение полуосей через

причем выражение это однородно относительно

Из сказанного видно, что сами инварианты как хотя и однородные, но не нулевой степени, выражения от коэффициентов, не имеют прямого геометрического смысла — это алгебраические объекты. Можно показать, что выражение

хотя и может изменяться при параллельных переносах, но не изменяется при чистых поворотах заданных прямоугольных осей, — это так называемый полуинвариант.

Чтобы дать пример применения инвариантов и полуинвариантов, приведем следующую таблицу, которая, если вычислить сразу дает возможность определить по уравнению аффинный класс линии 2-го порядка, им выражаемой:

В этой таблице выписаны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы уравнение линии 2-го порядка приводилось к тому или иному из девяти канонических видов обозначает произведение

Пусть, например, дано уравнение Мы имеем откуда Выполнены условия 4-й строки таблицы: т. е. это — гипербола. Полуоси ее равны

Коэффициенты «приведенных» уравнений (I), (И) и (III) выражаются через инварианты и полуинварианты так:

где и — корни так называемого характеристического квадратного уравнения

Формулы (I—III) позволяют сразу вычислять полуоси а и эллипса и гиперболы, параметр параболы и расстояние между параллельными прямыми. Формулы для полуосей были выписаны выше. Параметр получается равным:

Совершенно аналогичная теория инвариантов и полуинвариантов, соответствующая таблица для определения аффинного класса и формулы коэффициентов приведенных уравнений могут быть выведены для поверхностей 2-го порядка в трехмерном пространстве.

Надо сказать, что все вышеизложенное освещает только смысл и значение тех инвариантов, которые рассматриваются в аналитической геометрии для линий и поверхностей 2-го порядка. Само понятие инварианта имеет, однако, несравненно более широкое значение.

Инвариантом некоторого изучаемого объекта по отношению к некоторым рассматриваемым его преобразованиям называется всякая величина (численная, векторная и т. связанная с этим объектом, которая не изменяется при этих преобразованиях. В рассматриваемом вопросе объект — многочлен 2-й степени с двумя переменными (т. е. собственно его коэффициенты), преобразования — преобразования многочлена, получаемые при переходе от одних прямоугольных координат к другим.

Другой пример. Объект — данная масса данного газа при данной температуре. Преобразования — изменение объема или давления этой массы газа. Инвариант, по закону Бойля-Мариотта, произведение объема на давление. Можно говорить о длинах отрезков в пространстве или величинах углов, как инвариантах группы движений пространства, об отношениях, в которых точки делят отрезки, или об отношениях площадей, как об инвариантах группы аффинных преобразований пространства, и т. д.

Особенно важное значение имеют различные инварианты в физике.