Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ

Идея инварианта. Инварианты уравнения 2-й степени с двумя переменными.

Во второй половине прошлого века было введено еще одно важное новое понятие — понятие инварианта.

Рассмотрим, например, многочлен 2-й степени с двумя переменными

Если рассматривать х, у как прямоугольные координаты и производить преобразование их к новым прямоугольным осям, то после подстановки в (23) вместо х, у их выражений через новые координаты х, у, раскрытия скобок и приведения подобных членов мы получим новый преобразованный многочлен с другими коэффициентами

Оказывается, существуют такие выражения, составленные из коэффициентов, которые при этом преобразовании численно не меняются, хотя сами коэффициенты и меняются. Такое выражение от имеет ту же численную величину, какую оно имело бы, если бы его составить из

Выражения такого рода называются инвариантами многочлена (23) по отношению к группе ортогональных преобразований (т. е. но отношению к преобразованиям от одних прямоугольных координат х, у к любым другим прямоугольным координатам

Такими инвариантами, оказывается, будут ,

т. е.

Можно доказать важную теорему, что любой ортогональный инва риант многочлена (23) выражается через эти три основных инварианта.

Если мы приравняем многочлен (23) нулю, то получим уравнение некоторой линии 2-го порядка. Всякая величина, связанная с самой этой линией, а не с ее расположением на плоскости, очевидно, не будет зависеть от того, в каких координатах написано ее уравнение и поэтому, если она выражается как-нибудь через коэффициенты, это выражение будет ортогональным инвариантом многочлена (23) и, следовательно, в силу высказанной теоремы будет выражаться через эти три основных инварианта. Сверх того, так как при умножении на любое заданное число отличное от нуля, всех шести коэффициентов рассматриваемого уравнения, линия, им выражаемая, остается прежней, то выражение через всякой величины, связанной с самой линией, должно быть непременно таким, чтобы при умножении в нем F на число в нем сокращалось. Рассматриваемое выражение, как говорят, должно быть однородным нулевой степени по отношению к

Проверим это на примере. Пусть, например, уравнение

выражает некоторый эллипс. Так как это уравнение вполне задает этот эллипс, то при помощи него, т. е. при помощи его коэффициентов, можно вычислить все основные величины, связанные с этим эллипсом. Например, можно вычислить его полуоси а и т. е. можно выразить полуоси через

его коэффициенты. Выражения эти будут инвариантами и, следовательно, будут как-то выражаться через Путем приведения уравнения к каноническому виду и некоторых дальнейших вычислений действительно получается следующее (довольно сложное) выражение полуосей через

причем выражение это однородно относительно

Из сказанного видно, что сами инварианты как хотя и однородные, но не нулевой степени, выражения от коэффициентов, не имеют прямого геометрического смысла — это алгебраические объекты. Можно показать, что выражение

хотя и может изменяться при параллельных переносах, но не изменяется при чистых поворотах заданных прямоугольных осей, — это так называемый полуинвариант.

Чтобы дать пример применения инвариантов и полуинвариантов, приведем следующую таблицу, которая, если вычислить сразу дает возможность определить по уравнению аффинный класс линии 2-го порядка, им выражаемой:

В этой таблице выписаны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы уравнение линии 2-го порядка приводилось к тому или иному из девяти канонических видов обозначает произведение

Пусть, например, дано уравнение Мы имеем откуда Выполнены условия 4-й строки таблицы: т. е. это — гипербола. Полуоси ее равны

Коэффициенты «приведенных» уравнений (I), (И) и (III) выражаются через инварианты и полуинварианты так:

где и — корни так называемого характеристического квадратного уравнения

Формулы (I—III) позволяют сразу вычислять полуоси а и эллипса и гиперболы, параметр параболы и расстояние между параллельными прямыми. Формулы для полуосей были выписаны выше. Параметр получается равным:

Совершенно аналогичная теория инвариантов и полуинвариантов, соответствующая таблица для определения аффинного класса и формулы коэффициентов приведенных уравнений могут быть выведены для поверхностей 2-го порядка в трехмерном пространстве.

Надо сказать, что все вышеизложенное освещает только смысл и значение тех инвариантов, которые рассматриваются в аналитической геометрии для линий и поверхностей 2-го порядка. Само понятие инварианта имеет, однако, несравненно более широкое значение.

Инвариантом некоторого изучаемого объекта по отношению к некоторым рассматриваемым его преобразованиям называется всякая величина (численная, векторная и т. связанная с этим объектом, которая не изменяется при этих преобразованиях. В рассматриваемом вопросе объект — многочлен 2-й степени с двумя переменными (т. е. собственно его коэффициенты), преобразования — преобразования многочлена, получаемые при переходе от одних прямоугольных координат к другим.

Другой пример. Объект — данная масса данного газа при данной температуре. Преобразования — изменение объема или давления этой массы газа. Инвариант, по закону Бойля-Мариотта, произведение объема на давление. Можно говорить о длинах отрезков в пространстве или величинах углов, как инвариантах группы движений пространства, об отношениях, в которых точки делят отрезки, или об отношениях площадей, как об инвариантах группы аффинных преобразований пространства, и т. д.

Особенно важное значение имеют различные инварианты в физике.

1
Оглавление
email@scask.ru