Правило знаков Декарта.

В своей знаменитой книге «Геометрия», в которой было дано первое изложение, аналитической геометрии, Декарт между прочим дал и первую замечательную алгебраическую теорему, относящуюся к теории расположения корней многочлена на комплексной плоскости, — так называемое «правило знаков Декарта». Оно может быть высказано так:

Если коэффициенты уравнения действительные и все его корни также заведомо действительные, то число его положительных корней, если учитывать их кратности, равно числу перемен знаков в ряде его коэффициентов. Если же оно имеет и комплексные корна, то число это равно или на некоторое четное число меньше числа этих перемен знаков.

Объясним прежде всего, что такое число перемен знаков в ряде коэффициентов уравнения. Для получения этого числа выписывают все коэффициенты уравнения подряд, например по убывающим степеням неизвестной, включая коэффициент при и постоянный член, но совсем опуская равные нулю коэффициенты, и рассматривают все пары соседних

чисел полученного ряда. Если в такой паре знаки чисел различны, то называем это переменой знаков. Например, если дано уравнение

то ряд его коэффициентов

и перемен знаков в нем две.

Перейдем теперь к доказательству первой части теоремы.

Без нарушения общности можно считать, что старший коэффициент многочлена положителен.

Установим прежде всего, что если имеет только действительные корни и из них положительных (с учетом кратности), то есть знак последнего, отличного от нуля, коэффициента

В самом деле, пусть

где — положительные — отрицательные корни каждый считается столько раз, какова его кратность. Тогда и в силу положительности чисел знак есть

Дальнейшее доказательство построено по способу математической индукции.

Для многочленов 1-й степени теорема очевидна. Действительно, многочлен 1-й степени имеет единственный корень , который положителен в том и только в том случае, когда имеют противоположные знаки.

Допустим теперь, что теорема доказана для всех многочленов степени с действительными корнями, и в этом предположении докажем ее для многочлена степени

Рассмотрим многочлен Положительные корни многочленов одинаковы; число перемен знаков в рядах их коэффициентов тоже одинаково. Для многочлена правило Декарта верно; следовательно, оно верно и для многочлена

Введем в рассмотрение производную

Очевидно, что число перемен знаков в ряду коэффициентов многочлена равно аналогичному числу для производной если знаки

и последнего, отличного от нуля, коэффициента производной совпадают, или на единицу больше, если эти знаки противоположны.

В силу сказанного в начале доказательства, в первом случае число положительных корней имеет одинаковую четность, во втором случае — противоположную. Но, как мы вывели из теоремы Ролля, число положительных корней многочлена (если все его корни действительны) может или равняться числу положительных корней его производной, или быть на единицу больше. Принимая это во внимание, заключаем, что в первом случае имеет столько же положительных корней, сколько во втором — на единицу больше. Для правило Декарта верно по индуктивному предположению, т. е. число положительных корней равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов. Следовательно, в обоих случаях число положительных корней равно числу перемен знаков в ряду коэффициентов, что и требовалось доказать.

Вторая часть правила Декарта устанавливается не сложнее, но мы не будем приводить ее доказательства.

Замечание 1. Особенно важно первое утверждение теоремы Декарта, так как во многих практических вопросах заведомо известно, что все корни написанного уравнения действительные. В этом случае можно быстро узнать, сколько корней положительных и сколько отрицательных. А сколько у уравнения нулевых корней, видно сразу.

Замечание 2. Если в рассматриваемом многочлене положить а, где а — какое угодно заданное действительное число, т. е. написать многочлен . то положительными корнями у этого многочлена будут те и только те, которые получаются из тех корней х заданного многочлена которые больше, чем а. Поэтому число корней заданного многочлена все корни которого действительные, лежащих между заданными пределами а и равно числу перемен знаков у многочлена минус число перемен знаков у многочлена Если же не все корни действительные, то можно показать, что оно равно этой разности или на четное число меньше. Это так называемая теорема Бюдана.