Лемма Даламбера.
Ввиду того, что все апликаты 
точек поверхности М, как модули, неотрицательны, то очевидно, что всякому корню многочлена 
т. е. точке z комплексной плоскости, в которой сам многочлен 
а следовательно, и его модуль 
равен нулю, соответствует минимум поверхности модуля М. Однако, как показал Даламбер, верно и обратное: во всяком минимуме поверхность М доходит до самой комплексной плоскости, и, следовательно, в нем имеется корень многочлена 
Другими словами, нет минимумов поверхности М, в которых апликата 
положительна, а не нуль. Это следует из так называемой леммы Даламбера:
Если 
— какое угодно заданное комплексное число, такое, что 
то можно всегда найти сколь угодно малое по модулю комплексное число 
такое, что 
Доказательство. Рассмотрим многочлен
и расположим этот многочлен от двух букв а и 
по восходящим степеням 
. В этом многочлене будет член, вовсе не содержащий 
а именно
так как было предположено, что 
Будет также член с 
а именно: 
так как было предположено, что 
Что же касается членов с промежуточными степенями 
то некоторые из них, а иногда и все, могут отсутствовать. Пусть наинизшая степень 
которая встречается в этом разложении, есть 
где 
, т. е. разложение это имеет вид
Напишем его так:
где 
могут и равняться и не равняться нулю.
После этой подготовки, грубо говоря, доказательство леммы Даламбера протекает так. За h берется достаточно малое по модулю комплексное число, такое, чтобы длина вектора 
была меньше длины вектора 
и с таким аргументом, чтобы направление вектора 
было обратно направлению вектора 
. Тогда вектор 
будет короче, чем вектор 
. Но для всех 
достаточно малых по модулю, модуль скобки 
сколь угодно мал, например меньше единицы, и, следовательно, длина вектора 
короче длины вектора 
и потому вектор 
, как это видно на рис. 5, также короче вектора 
даже если бы направление вектора А было прямо противоположно направлению вектора 
Рис. 5.
Подробности этого доказательства следующие:
1. Так как при умножении аргументы множителей складываются, аргумент 
надо взять таким, чтобы
т. е. надо взять
2. Модуль скобки 
больше суммы модулей ее слагаемых 
причем при уменьшении модуля 
каждое из слагаемых этой суммы сколь угодно уменьшается, следовательно, уменьшается и вся эта сумма. Поэтому, если 
— комплексное число написанного выше аргумента и 
— такой модуль, что для 
по модулю меньших, чем 
выполняются оба условия 
то для всех 
этого аргумента, но модулю меньших 
уже будет 
что и доказывает лемму Даламбера.
Из леммы Даламбера непосредственно следует, что всякий минимум поверхности М модуля многочлена 
дает корень этого многочлена. Действительно, если бы в точке а было 
то в силу леммы Даламбера в сколь угодно близких к ней точках 
было бы 
т. е. не существовало бы такого кружка с центром в точке а, во всех точках которого модуль 
не меньше модуля 
и поэтому в точке 
не могло бы быть минимума модуля 
Тем самым основная теорема высшей алгебры доказана.
лежит над комплексной плоскостью 
Она имеет вид, указанный на рис. 6. Можно показать, что на большой высоте 
поверхность М весьма мало отличается от поверхности, получающейся от вращения параболы 
порядка 
вокруг оси 
Но при малых 
поверхность М имеет минимумы, число которых равно числу различных корней уравнения 
Во всех этих минимумах поверхность 
упирается в самое комплексную плоскость 
