Алгебра векторов.

Любой направленный отрезок (все равно, что он представляет: силу, скорость, ускорение или еще что-нибудь), т. е. отрезок, имеющий данную длину и определенное направление, называют вектором.

Рис. 41.

Рис. 42.

Два вектора называют равными, если они имеют одну и ту же длину и одно и то же направление, т. е. в самом понятии «вектор» учитывается только его длина и его направление. Векторы можно складывать. Пусть даны векторы Отложим от некоторой точки вектор а, затем от его конца вектор Мы получим так зазываемую векторную ломаную (рис. 41). Вектор начало которого совпадает с началом первого вектора а этой ломаной, а конец — с концом последнего вектора этой ломаной, называют суммой этих векторов

Легко доказать, что вектор не зависит от того, в каком порядке брать слагаемые

Вектор, равный по длине вектору а, но обратного ему направления, называется обратным ему вектором и обозначается через — а.

Вычитанием вектора а называют прибавление обратного ему вектора.

Обыкновенные действительные числа в векторном исчислении принято называть скалярными. Пусть задан вектор а (рис. 42) и скаляр X, тогда произведением вектора а на скаляр (число) X, т. е. называют вектор, длина которого равна произведению длины вектора а на абсолютную величину числа X, а направление такое же, как у а, если и обратное, если

Рассмотрим систему прямоугольных декартовых координат и векторы имеющие длины, равные единице, и направления,

совпадающие с положительными направлениями осей Очевидно, что до любой взятой точки М (рис. 43) пространства можно дойти из начала О столько-то «раз» (целое), дробное или иррациональное, положительное или отрицательное «число раз») пройдя вектор затем столько-то «раз» пройдя вектор наконец, столько-то «раз», пройдя вектор

Рис. 43.

Рис. 44.

Рис. 45.

Числа х, у, z, показывающие, сколько «раз» при этом надо пройти векторы очевидно, просто декартовы координаты точки М.

Пусть дан некоторый вектор а; будем двигать точку от его начала к его концу и движение это разложим на движения параллельно осям тогда, если придется при этом точку передвинуть на параллельно оси на параллельно оси и на параллельно оси то

Числа называются координатами вектора а. Это, очевидно, просто координаты конца М этого вектора, если его начало поместить в начале координат О (рис. 44). Отсюда ясно, что при сложении векторов складываются их одноименные координаты, а при вычитании — вычитаются. Если первый вектор «уносит» вдоль оси на а второй — на то их суыыа, очевидно, «уносит» вдоль оси на (рис. 45). Ясно также, что приумножении вектора на число его координаты умножаются на это число.