Формула Тейлора.

Пусть на некотором промежутке, внутри которого лежит точка а, задана функция имеющая производные всех порядков. Многочлен 1-й степени

совпадает в точке и имеет в этой точке, как нетрудно проверить, ту же производную, что и Его график является прямой, касательной к графику в точке а. Можно подобрать многочлен 2-й степени, именно

который в точке х — а будет иметь с общее значение и одинаковые первую и вторую производные. Его график будет вблизи точки а еще теснее прилегать к графику функции . Естественно ожидать, что если мы построим многочлен, имеющий при первые производных, одинаковых с производными в той же точке, то этот многочлен при х, близких к а, будет лучше приближать Так получается приближенное равенство, выражающее формулу Тейлора

Правая часть этой формулы есть многочлен степени от . При каждом х его можно фактически вычислить, если известны

Для функций, имеющих производную, правая часть этой формулы, как это легко доказать, отличается от левой на малую величину, стремящуюся к нулю быстрее, чем Более это — единственный возможный многочлен степени отличающийся от при х, близких к а, на величину, которая стремится при к нулю быстрее, чем . В случае же, когда есть алгебраический многочлен степени приближенное равенство (25) обращается в точное.

Наконец, и это чрезвычайно важно, удается простым образом выразить, насколько именно отличается правая часть формулы (25) от . А именно, для того чтобы равенство (25) стало точным, надо добавить справа еще некоторый так называемый «остаточный член» формулы

Последнее, дополнительное, слагаемое

имеет ту особенность, что стоящая в нем производная должна вычисляться всякий раз не в самой точке а, а в специально подобранной, заранее неизвестной нам точке , заведомо лежащей, однако, где-то в промежутке между

Доказательство равенства (26) довольно громоздко, но весьма несложно по существу. Приведем несколько искусственный, но зато краткий вариант доказательства.

Чтобы установить, насколько отличается в приближенном равенстве (25) левая часть от правой, рассмотрим отношение разности левой и правой части равенства (25) к величине —

Введем еще в рассмотрение функцию

от переменной и, считая, что х есть фиксированная (постоянная) величина. Тогда числитель (27) будет не чем иным, как приращением этой функции при переходе от а знаменатель будет приращением

на том же участке функции

Остается воспользоваться известным из предыдущего параграфа обобщением теоремы о среднем

Выполняя дифференцирование по и функций (при этом надо помнить, что х постоянно: мы его зафиксировали), убедимся, что

Равенство последнего выражения исходной величине (27) и представляет как раз формулу Тейлора в виде (26).

В последнем виде (26) формула Тейлора дает не только средство приближенно вычислять но позволяет также оценивать допускае при этом погрешность.

Обратимся к простому примеру

Значения функции и ее производных любого порядка при мы знаем. Воспользуемся этим и напишем формулу Тейлора для полагая и ограничиваясь случаем Последовательно находим

Поэтому

Хотя точное значение нам неизвестно, но его легко оценить, учитывая, что . Если ограничиться значениями а от 0 до , то для таких х

Следовательно, на отрезке 0, функцию ; с точностью до можно считать равной многочлену 3-й степени

Если в разложении по формуле Тейлора взять больше членов, то получим многочлен более высокой степени, приближающий еще точнее.

Подобными методами вычисляются тригонометрические и многие другие таблицы.

Законы природы, как правило, с хорошим приближением выражаются функциями, дифференцируемыми любое число раз, которые, в свою очередь, могут приближенно изображаться многочленами; выбор степени многочлена определяется необходимой точностью.