Приложение теории Галуа к вопросу о разрешимости геометрической задачи циркулем и линейкой.

Одно из замечательных частных приложений теории Галуа следующее. Многие задачи планиметрии могут быть решены построениями циркулем и линейкой, а другие нет. Например, можно построить циркулем и линейкой правильный треугольник, квадрат пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, десятиугольник и т. д., но нельзя построить правильного семиугольника, девятиугольника, одиннадцатиугольника и т. д. Какие задачи можно решить циркулем и линейкой, а какие нет? Это было до Галуа неразрешимым вопросом. Из теории Галуа получается следующее его решение.

Совместное решение уравнений двух прямых, прямой и окружности или двух окружностей сводится к решению уравнений первой или второй степени. Для прямой и окружности это очевидно, для случая же двух окружностей если вычесть одно уравнение из другого, то взаимно уничтожаются и получается уравнение 1-й степени, которое уже надо решать с уравнением одной из окружностей, что тоже дает квадратное уравнение. Поэтому каждый этап задачи, решаемой циркулем и линейкой, сводится к уравнению 1-й или 2-й степени, а вся задача, следовательно, — к алгебраическому уравнению с одним неизвестным, решение которого приводится к цепи квадратных радикалов. Наоборот, если решение какой-либо геометрической задачи сводится к такому алгебраическому уравнению, то она может быть решена циркулем и линейкой, так как квадратный радикал, как известно, может быть построен циркулем и линейкой.

Если дана какая-нибудь геометрическая задача, надо составить алгебраическое уравнение, к решению которого она сводится. Если такого алгебраического уравнения составить нельзя, задача заведомо не решается циркулем и линейкой. Если оно найдено, надо выделить тот его неприводимый множитель, который связан с решением задачи, и узнать, решается ли это неприводимое уравнение в квадратных радикалах. Как показывает теория Галуа, для этого необходимо и достаточно, чтобы число перестановок, из которых состоит его группа Галуа, было степенью двойки.

При помощи этого признака оказалась доказанной теорема, высказанная Гауссом о том, что правильный многоугольник с простым числом сторон может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда простое число имеет вид - т. е. для можно, а для нельзя построить правильного многоугольника циркулем и линейкой. Гаусс доказал только первое из этих утверждений.

Этим же способом доказывается, что нельзя циркулем и линейкой разделить произвольный угол на три равные части, нельзя решить задачу удвоения куба, т. е. по ребру куба найти ребро куба вдвое большего объема, и т. д.

Невозможность квадратуры круга, т. е. невозможность, пользуясь построениями циркулем и линейкой, по радиусу круга найти сторону равновеликого ему квадрата, доказывается иначе. А именно: можно доказать, что сторона такого квадрата не связана с радиусом никаким алгебраическим уравнением, т. е. что она, как говорят, трансцендентна по отношению к радиусу, и, следовательно, подавно не выражается через радиус цепью квадратных радикалов. Доказательство это трудное и не следует из теории Галуа.