Простые и кратные корни многочлена.

В § 2 этой главы было установлено, что если число а — корень многочлена то делится на х — а без остатка. Если при этом не делится на то число а называется простым корнем многочлена Вообще, если многочлен делится на и не делится на то число а называется корнем кратности k.

Корень а кратности к часто рассматривают как к равных корней. Основанием к этому является то, что множитель присутствующий в разложении на линейные множители, есть произведение к множителей, равных

В силу того, что каждый многочлен степени разлагается в произведение линейных множителей, число корней многочлена равно его степени, если условиться считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Верны следующие теоремы:

1. Простой корень многочлена не является корнем его производной.

2. Кратный корень многочлена является корнем его производной на единицу меньшей кратности.

Действительно, пусть не делится на Тогда

Многочлен не делится на ибо

Следовательно, при не делится на а при делится на но не делится на Тем самым обе теоремы «доказаны.