§ 10. ИНТЕГРАЛ

Из главы 1 и из § 1 настоящей главы читатель уже знает, что понятие интеграла и вообще интегральное исчисление исторически возникли из необходимости решения конкретных задач, характерным примером которых является задача о нахождении площади криволинейной фигуры.

Настоящий параграф посвящен этим вопросам. Из него мы узнаем также, в чем заключается связь между задачами дифференциального и интегрального исчисления, которая полностью была выяснена только в XVIII в.

Площадь.

Пусть проходящая над осью линия служит графиком функции . Попытаемся найти площадь S участка, ограниченного линией осью и прямыми, проведенными через точки параллельно оси

Рис. 24.

Для решения этой задачи поступим следующим образом. Разобьем отрезок на частей (не обязательно одинаковых). Обозначим длину первого участка , второго последнего . В каждом участке выберем по точке после чего составим сумму

Величина очевидно, равна сумме площадей заштрихованных на рис. 24 прямоугольников.

Чем мельче сделать разбиение участка тем ближе будет к площади Если производить ряд таких построений, разбивая

промежуток на все более и более мелкие участки, то суммы будут стремиться к

Возможность деления на неравные участки заставляет нас уточнить, что следует понимать под «все более мелкими» разбиениями. Мы предполагаем, что не только неограниченно возрастает, но даже наибольшая из длин разбиении стремится к нулю. Итак

Вычисление площади свелось котысканию предела (29).

Отметим, что когда мы ставили нашу задачу, то имели только опытное представление о площади нашей криволинейной фигуры, но точного определения не имели. В результате проведенных рассуждений мы получили точное определение понятия площади: это есть предел (29). Теперь мы не только имеем наглядное представление о площади, но располагаем и ее математическим определением, позволяющим вычислять площадь (сравните с замечаниями на стр. 99 о длине окружности и скорости).

Рис. 25.

Мы предполагали, что . Если меняет знак, как на рис. 25, то предел (29) дает алгебраическую сумму площадей участков, лежащих между кривой и осью причем площади участков, лежащих над осью считаются со знаком плюс, а участков, лежащих под осью, — со знаком минус.