§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНИЙ, ВЫРАЖЕННЫХ УРАВНЕНИЯМИ 1-Й И 2-Й СТЕПЕНИ

Уравнение 1-й степени.

При использовании второй идеи Декарт прежде всего рассмотрел, какие линии соответствуют уравнению 1-й степени, т. е. уравнению

где А, В, С — некоторые численные коэффициенты, такие что А и В не равны одновременно нулю. Оказалось, что на плоскости такому уравнению всегда соответствует прямая линия.

Докажем, что уравнение (1) всегда выражает прямую, и обратно, что всякой прямой на плоскости соответствует вполне определенное уравнение (1). Действительно, пусть например, тогда уравнение (1) можно разрешить относительно у

где

Рассмотрим сначала уравнение Оно выражает, очевидно, прямую, проходящую через начало координат и составляющую угол с осью х, тангенс которого есть к Действительно, это уравнение можно переписать так: и все точки такой прямой удовлетворяют этому уравнению, а никакая точка не лежащая на этой прямой, уже этому уравнению не удовлетворяет, так как для нее будет либо больше, либо меньше к. При этом, если то для такой

прямой оба положительны или оба отрицательны, а если то знаки их противоположны.

Итак, уравнение выражает прямую, проходящую через начало координат О, а, следовательно, уравнение выражает тоже прямую, а именно ту, которая получается из предыдущей, если ее перенести параллельно самой себе так, чтобы ординаты всех ее точек увеличились на I (рис. 7).

Рассмотренные выше формулы: координат точки, делящей отрезок в данном отношении, расстояния между двумя заданными точками, площади треугольника, а также сведения об уравнении прямой дают уже возможность решать множество задач.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.