Разложение многочлена на множители и формулы Виета.

Если принять без доказательства так называемую основную теорему алгебры, что всякое уравнение

где

многочлен от х любой данной степени, а коэффициенты — заданные действительные или комплексные числа, имеет хотя бы один действительный или комплексный корень, и принять во внимание, что все вычисления с комплексными числами производятся по тем же законам, как с рациональными числами, то легко показать, что многочлен можно представить, и притом только одним способом, в виде произведения множителей 1-й степени

где — некоторые действительные или комплексные числа.

В самом деле, нусть а — корень будем делить на

так как делитель 1-й степени, то остатком будет постоянное число т. е. мы будем иметь тождество

где — многочлен степени, постоянное. Подставляя сюда вместо х число а, мы получим

Но так как а — корень то и, следовательно, т. е. многочлен всегда делится нацело на где а — корень этого многочлена. Итак

Но если верна основная теорема алгебры, то в свою очередь и многочлен имеет некоторый корень и мы аналогично получим

где многочлен уже степени и т. д. Разложение это, как легко показать, единственное.

Всякий многочлен степени имеет в этом смысле и только корней Причем все эти корни могут быть различными, но могут быть среди них и одинаковые. Тогда мы говорим, что соответственный корень многочлена кратный, с такою-то кратностью.

Перемножая скобки

и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, непосредственно убеждаемся, что

— это формулы Виета.