Приведение любого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов.

Покажем теперь, что каким бы ни было заданное уравнение 2-й степени с двумя переменными, всегда можно сначала так повернуть оси, а затем их параллельно перенести, что преобразованное уравнение в окончательных осях будет иметь один из видов 1), 2),...,9).

Действительно, пусть заданное уравнение 2-й степени имеет вид

Повернем оси на некоторый угол который мы сейчас подберем. Подставив в уравнение (8) вместо х и у их выражения через новые координаты (согласно формулам поворота), мы получим, собирая подобные члены, что коэффициент в преобразованном уравнении

будет равен

Положив его равным нулю, мы получим откуда

Но так как котангенс изменяется от до , то можно всегда найти такой угол , при котором удовлетворяется это равенство. При повороте осей на такой угол мы получим, что в повернутых осях уравнение

нашей линии, выражавшейся в исходных осях уравнением (8), имеет вид

т. е. что оно уже не содержит члена с произведением координат, (достается прежним, так как формулы поворота не содержат постоянных членов.)

Теперь перенесем уже повернутые оси параллельно самим себе в положение и пусть координаты нового начала относительно осей суть Уравнение нашей линии в этих окончательных осях будет

Покажем, что можно всегда так подобрать 5 и е. так перенести оси параллельно самим себе, чтобы окончательное уравнение в осях имело один из канонических видов 1), 2),..., 9).

Раскрывая все скобки в уравнении (10) и делая приведение подобных членов, получаем

где мы через обозначили сумму всех постоянных членов; какова она, нас это сейчас не интересует.

Рассмотрим три возможных случая.

I. оба не равны нулю. В этом случае, взяв мы уничтожим члены с первыми степенями и получим уравнение вида

но Взяв мы получим уравнение

или

Сделав еще параллельный перенос вдоль оси на величину мы найдем, что т. е. получим уравнение

Если бы было мы просто поменяли бы ролями х и у и получили бы этот же случай.

III. Взяв опять мы получим уравнение

Если было бы мы опять поменяли бы ролями .

Тут перебраны все возможности, так как одновременно и А и С равными нулю быть не могут, поскольку тогда понизилась бы степень уравнения, а мы видели, что при преобразованиях координат она не изменяется.

Итак, соответственным выбором прямоугольных координат всякое уравнение 2-й степени можно привести к одному из так называемых трех «приведенных» уравнений: (I), (II) или (III).

Пусть уравнение имеет вид (I) (в этом случае А и С не равны нулю). Если то, написав уравнение (I) так:

мы, в зависимости от знаков приходим к одному из уравнений 1), 2) или 4). Если знаменатель при отрицателен, а при положителен, то надо еще изменить название оси на на Если то, написав уравнение (I) в виде

мы приходим к уравнениям 3) или 5).

Если уравнение будет вида (II) (в каковом случае А и Е оба не равны нулю), то, написав его так:

и обозначив через и изменив названия осей на получим уравнение 6).

Если, наконец, мы имеем уравнение вида (III) (причем тогда то его можно переписать так: и получится одно из уравнений 7), 8) или 9).

Только что доказанная важная теорема о возможности приведения всякого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов была уже подробно разобрана Эйлером. Рассуждения в книге Эйлера лишь по форме отличаются от сейчас приведенных.