Решение уравнений 3-й и 4-й степени пересечением окружности с параболой у = x^2.
Составим уравнение окружности с центром 
и радиусом 
Если 
— некоторая точка, то квадрат ее расстояния до точки 
равен 
(см. § 3). Уравнение рассматриваемой окружности, следовательно, есть
Попробуем теперь найти точки пересечения этой окружности с параболой 
Для этого, в силу сказанного в § 3, надо совместно решить уравнение этой окружности и уравнение параболы:
Подставляя у из второго уравнения в первое, мы получим относительно х уравнение 4-й степени
или уравнение
Если взять 
такие, чтобы было
то получится как раз уравнение (2). Для этого надо взять
В последней формуле (3), вообще говоря, 
может оказаться отрицательным. Однако в случае, когда уравнение (2) имеет хотя бы один действительный корень 
имеет место равенство
Обозначая 
через 
равенство (4) можно переписать так:
или так:
Таким образом, в случае, когда уравнение (2) имеет действительный корень, число 
положительное, уравнение
есть уравнение окружности, и все действительные корни уравнения (2) суть абсциссы точек пересечения параболы 
с этой окружностью.
(В случае 
эта окружность проходит через начало координат).
Таким образом, если заданы коэффициенты 
уравнения (2) и надо найти по формулам 
то, если 
уравнение (2) заведомо не имеет действительных корней. Если же 
то абсциссы точек пересечения окружности с центром 
и радиусом 
с раз навсегда вычерченной параболой 
дают все действительные корни уравнения (2), причем и в случае 
получаемая окружность может не пересекать параболы и уравнение (2) может не иметь действительных корней.
Рис. 10.
Пример. Пусть задано уравнение 4-й степени:
Мы имеем тогда
На рис. 10 показаны соответствующая окружность и корни 
рассматриваемого уравнения.
Параграфы 1,2,3 и 4 содержат в кратком и более близком к современному изложении наиболее существенное, что есть в книге Декарта.
Со времени Декарта до наших дней аналитическая геометрия прошла большой путь развития, плодотворный для самых разных частей математики. Мы попробуем в дальнейших параграфах этой главы проследить наиболее важные этапы этого пути.
Прежде всего надо сказать, что изобретатели анализа бесконечно малых уже владели методом Декарта. Будь то вопрос о касательных или нормалях (перпендикулярах к касательным в точках касания) к линии, или вопрос о максимумах и минимумах функции, если рассматривать его геометрически, или вопрос о радиусе кривизны линии в данной ее точке и т. д., — всегда рассматривают прежде всего, по Декарту, уравнение этой линии и затем уже находят уравнение нормали, уравнение касательной и т. д. Поэтому анализ бесконечно малых, дифференциальное и интегральное исчисления были бы немыслимы без предварительной разработки аналитической геометрии.
