Теорема Штурма.

Правило знаков Декарта, равно как и теорема Бюдана не дают, однако, ответа на вопросы: имеет ли данное уравнение с действительными коэффициентами хоть один действительный корень, сколько оно имеет всего действительных корней, а тем более сколько оно имеет действительных корней, лежащих между данными пределами а и Более двух столетий математики пытались решить эти вопросы, и все безрезультатно. Длинный ряд работ в этом направлении принадлежит Декарту, Ньютону, Бюдану, Сильвестру, Фурье и многим другим, но им не удалось решить даже первого из этих вопросов, пока, наконец, в 1835 г. французский математик Штурм не предложил способа, дающего решение всех трех вопросов.

Вывод способа Штурма собственно совсем не сложен, но он таков, что его можно было бы еще долго искать и все же не найти. Сам Штурм был очень счастлив, что ему удалось решить эту знаменитую и чрезвычайно важную для практики задачу алгебры. Когда он да лекциях доходил до изложения своего результата, он обычно говорил: «Вот теорема, имя которой я ношу». Надо, однако, сказать, что Штурм решил эту задачу не случайно; он много лет думал над смежными с нею вопросами.

Пусть — многочлен с действительными коэффициентами; — его производная Поделим многочлен на обозначив через остаток при этом делении, взятый с противоположным знаком. Далее, поделим на обозначив остаток, взятый с противоположным знаком, через

Можно доказать, что последний, отличный от нуля многочлен построенной последовательности будет некоторым постоянным числом с.

Теорема Штурма состоит в том, что если — два действительных числа, не являющихся корнями многочлена подставив в многочлены

мы получаем два ряда действительных чисел

такие, что число перемен знаков в ряде (I) больше или равно числу перемен знаков в ряде (II) и разность между этими числами перемен знаков в точности равна числу действительных корней лежащих между а и или, как иногда говорят, их число равно потере перемен знаков в ряде (I) при переходе от а к

Доказательство теоремы Штурма не труднее доказательства теоремы Декарта, однако мы его приводить не будем.

Теорема Штурма дает возможность подсчитать число корней многочлена с действительными коэффициентами на любом отрезке действительной оси. Поэтому применение теоремы Штурма к любому данному многочлену дает возможность установить довольно ясную картину расположения корней многочлена на действительной оси, в частности отделить корни, т. е. найти такие промежутки, в каждом из которых содержится по одному корню многочлена.

Во многих приложениях не меньшее значение имеет решение аналогичной задачи для комплексных корней многочлена. Так как комплексные числа изображаются точкам не на прямой, а на плоскости, то нельзя говорить о «промежутке», в котором заключается комплексный корень; вместо промежутка приходится рассматривать область, т. е. часть плоскости, выделенную тем или другим способом.

Таким образом, в применении к комплексным корням ставится следующая задача:

Дан многочлен и дана область на комплексной плоскости. Требуется узнать число корней многочлена внутри этой области..

Будем предполагать, что область ограничена замкнутым контуром (рис. 7) и что на контуре области многочлен корней не имеет.

Представим себе, что точка z обходит контур области один раз в положительном направлении. Каждое значение многочлена может быть тоже изображено точкой на плоскости.

Рис. 7.

Рис. 8.

При непрерывном изменении z многочлен тоже изменяется непрерывно. Поэтому, пока z обойдет одиь раз контур области, зачертит некоторую замкнутую линию. Эта линие не будет проходить, через начало координат, ибо по предположению, не обращается в нуль ни в одной из точек контура (рис. 8).

Ответ на поставленный выше вопрос дается следующей теоремой

Принцип аргумента. Число корней многочлена внутри области, ограниченной замкнутым контуром С, равно числу обходов вокруг начала координат точкой когда z обходит контур С один раз в положительном направлении.

Для доказательства разложим на линейные множители

Мы знаем, что аргумент произведения нескольких комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. Следовательно,

Обозначим через приращение аргумента вычисленное в предположении, что z обходит контур С. Очевидно, что составляет взятое столько раз, сколько раз точка обходит вокруг начала.

Очевидно, что

Ясно, что ибо постоянная. Далее, изображается вектором, исходящим из точки в точку Допустим, что находится внутри области. Геометрически очевидно (рис. 9), что вектор при обходе точкой z контура С совершит один полный оборот вокруг своего начала, так что Допустим теперь, что точка находится вне области. В этом случае вектор «качнется» в ту и другую сторону и вернется в исходное положение, не совершив оборота вокруг начала, так что Так можно рассуждать относительно всех корней.

Рис. 9.

Рис. 10.

Следовательно, равно умноженному на число корней лежащих внутри области. Итак, число корней внутри области равно числу обходов точки вокруг начала, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема дает возможность решить поставленную задачу в каждом частном случае, или нарисовать кривую, которую зачерчивает точка можно с любой степенью точности. Для этого нужно взять достаточно густо совокупность точек z на контуре С, вычислить соответствующие значения и соединить их непрерывной линией. Однако в некоторых случаях можно обойтись без этих утомительных вычислений. Укажем один из приемов на численном примере.

Пример. Узнать число корней многочлена внутри окружности с радиусом, равным единице, и центром в начале координат.

На указанной окружности из трех слагаемых, из которых составлен многочлен одно, именно преобладает на остальными. Действительно Это обстоятельство дает возможность рассуждать так. Обозначим через через через Пока точка z обходит один раз единичную окружность, обойдет окружпость радиуса 5 два раза, ибо Точка «привязана» к точке вектором, длина которого т. е. расстояние от точки до точки все время меньше расстояния от до начала координат.

Следовательно, точка как бы она ни «вертелась» вокруг не может «самостоятельно» обойти вокруг начала и обойдет вокруг начала столько раз, сколько точка т. е. два раза. Следовательно, число корней внутри рассматриваемой области равно двум.