§ 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которыми оперирует математический анализ. Представление о непрерывной функции можно получить, если сказать, что график ее непрерывен, т. е. его можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

Непрерывная функция математически выражает одно свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции). Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные законы движения тел выражающие зависимости пути пройденного телом, от времени Время и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движения тела устанавливает между ними определенную непрерывную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое же приращение пути.

К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его, так называемые сплошные среды — твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух. На самом деле, как теперь хорошо известно, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды без всяких просветов, непрерывно распределенной в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие, непрерывности играет, естественно, в этих дисциплинам, как и во многих других, большую роль.

Рассмотрим какую-либо функцию и вполне определенное значение независимой переменной Если наша функция отражает некоторый непрерывный процесс; то значениям х, мало отличающимся от должны соответствовать значения функции мало отличающиеся от значения в точке Таким образом, если приращение

независимой переменной мало, то должно быть малым также и соответствующее приращение функции. Иными словами, если приращение независимой переменной стремится к нулю, то приращение функции должно, в свою очередь, стремиться к нулю, что может быть записано следующим образом:

Это соотношение и является математическим определением непрерывности функции в точке

Функция называется непрерывной в точке если выполняется равенство (8).

Дадим еще такое определение:

Функция называется непрерывной для всех значений, принадлежащих к данному отрезку, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, т. е. в каждой такой точке выполняется равенство (8).

Таким образом, для того чтобы ввести математическое определение свойства функции, заключающегося в том, что график ее есть непрерывная (в обычном понимании этого термина) кривая, появилась необходимость определить сначала локальное, местное свойство непрерывности (непрерывность в точке а затем на этой основе определить непрерывность функции на целом отрезке.

Приведенное определение, впервые указанное в начале прошлого столетия Коши, является общепринятым в современном математическом анализе. Проверка на многочисленных конкретных примерах показала, что это определение хорошо соответствует сложившемуся у нас практическому представлению о непрерывной функции, например представлению о непрерывном графике.

В качестве примеров непрерывных функций могут служить известные читателю из школьной математики элементарные функции Все перечисленные функции непрерывны на отрезках изменения х, где они определены.

Если непрерывные функции складывать, вычитать, умножать и делить (при знаменателе, не равном нулю), то в результате мы снова придем к непрерывной функции. Однако при делении непрерывность, как правило, нарушается для тех значений при которых функция, стоящая в знаменателе, обращается в нуль. Результат деления представляет собой тогда разрывную в точке функцию.

Функция может служить промером разрывной в точке функции. Ряд других примеров разрывных функций дают графики, изображенные на рис. 9.

Мы рекомендуем читателю внимательно рассмотреть эти графики. Отметим, что разрывы функций бывают разные: иногда с приближением х к точке где функция претерпевает разрыв, предел существует,

(кликните для просмотра скана)

но отличен от а иногда, как нарис. 9 в, этого предела просто не существует. Бывает и так, что с приближением с одной стороны а если приближаясь с другой стороны, то уже не стремится к нулю. В этом случае, конечно, мы имеем разрыв функции, хотя про нее можно сказать, что она в этой точке «непрерывна с одной стороны». Все эти случаи можно проследить на приведенных графиках?

Для упражнения предложим читателю самому ответить на вопрос, чему должны равняться функции-, точках, где они не заданы (в точках, где знаменатель обращается в нуль), чтобы они были непрерывны в этих точках, и можно ли указать такие числа для функций

Разрывные функции в математике отражают многочисленные скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например, величина скорости тела меняется скачкообразно. Многие качественные переходы сопровождаются скачками. В § 2 мы приводили пример функции выражавшей зависимость количества тепла, находящегося в данном количестве воды (или льда), от температуры. Вблизи температуры таяния льда количество тепла с изменением меняется скачкообразно.

Функции с отдельными разрывами, наряду с непрерывными функциями, довольно часто встречаются в анализе. Примером функции более сложной, с бесконечным числом разрывов, может служить так называемая функция Римана, равная нулю во всех иррациональных точках и равная в рациональных точках вида (где — несократимая дробь). Эта функция разрывна во всех рациональных точках и непрерывна в иррациональных. Несколько изменив ее, можно без труда получить пример функции, разрывной уже во всех точках. Заметим кстати, что даже для таких сложных функций современный анализ обнаруживает много интересных закономерностей, которые исследуются в одной из самостоятельных ветвей анализа — теории функций действительного переменного. Большой вклад в эту чрезвычайно быстро развивавшуюся за последние 50 лет теорию внесен советскими математиками, особенно Московской школой теории функций.