Производная обратной функции.

Рассмотрим функцию непрерывную и возрастающую (убывающую) на отрезке . Последнее означает, что большему значению х из отрезка соответствует большее (меньшее) значение у (рис. 14).

Пусть На рис. 14 видно, что каждому значению у из отрезка (соотв. [d, cl) соответствует, и притом одно, значение х из отрезка такое, что Этим мы задали на отрезке (соотв. [d, с]) вполне определенную функцию которая называется обратной функцией по отношению к функции На рис. 14 видно, что функция непрерывна. Впрочем, этот факт в современном анализе строго доказывается на аналитической основе. Пусть теперь — соответствующие друг другу приращения . Очевидно

В пределе это дает нам простое соотношение для производных прямой и обратной функции

Используем это соотношение для нахождения производной функции Обратную функцию мы умеем дифференцировать, что позволяет написать

В частности

Рис. 14.

Другой пример: Обратная функция . Поэтому