§ 3. ГЕОМЕТРИЯ

1. История зарождения геометрии по существу сходна с историей зарождения арифметики. Первые геометрические понятия и сведения также восходят к временам доисторическим и также возникли в процессе практической деятельности.

Из самой природы заимствовал человек геометрические формы. Круг и серп луны, гладь озера, прямизна луча или стройного дерева существовали задолго до человека и предстояли перед ним постоянно. Конечно, достаточно прямые линии, тем более треугольники и квадраты, наш глаз встретит в самой природе редко. Ясно, что человек, вырабатывал представление об этих фигурах прежде всего потому, что активно воспринимал природу и, следуя своим практическим потребностям, изготовлял предметы все более и более правильной формы. Люди строили свои жилища, обтесывали камни, огораживали участки земли, натягивали тетивы на свой луки, лепили глиняную посуду, совершенствовали ее и соответственно создавали понятие, что сосуд получается круглый, что натянутая тетива — прямая. Короче, форму сначала придавали материалу, а потом уже осознавали ее как то, что придается материалу и что может рассматриваться само по себе в отвлечении от материала. Осознавая форму тел, человек мог совершенствовать свои изделия и еще отчетливее выделять само понятие формы. Так, практическая деятельность служила основой для выработки отвлеченных понятий геометрии. Нужно было сделать тысячи предметов с прямыми краями, натянуть тысячи нитей, провести на земле массу прямых линий, чтобы получить ясное представление о прямой линии вообще, как о том общем, что есть во всех этих частных случаях. Теперь мы окружены предметами с прямыми краями, сделанными людьми, сами учимся проводить прямые, и только поэтому у нас с детства складывается ясное представление о прямой.

Точно так же понятие о геометрических величинах — о длине, площади и объеме — возникло из практической деятельности. Люди измеряли длины, определяли расстояния, оценивали на глаз площади и объемы для своих практических целей. Постепенно здесь были обнаружены простейшие общие законы, первые геометрические зависимости, например: площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Земледельцу полезно было знать такую зависимость, чтобы оценивать площадь посева, а следовательно, и предполагаемый урожай.

Так из практической деятельности и жизненных задач зарождалась геометрия. Вот что писал о ней в IV в. до н. э. древнегреческий ученый Эвдем Родосский: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».

Конечно, измерение земли не было единственной задачей, побудившей древних к созданию геометрии. О характере задач и о том, как их решали древние египтяне и вавилоняне, можно судить по дошедшим до нас отрывкам текстов. Один из самых древних, дошедших до нас, египетских текстов восходит к временам более 1700 лет до н. э. — это руководство «писцам» (царским чиновникам), написанное неким Ахмесом. Здесь собран ряд задач на вычисление вместимости сосудов и амбаров, площадей земельных участков, размеров земляных работ и др.

Египтяне и вавилоняне умели определять простейшие площади и объемы, знали с хорошей точностью отношение окружности к диаметру и, может быть, даже могли вычислять поверхность шара, словом, они обладали уже немалым запасом геометрических знаний. Однако, насколько можно судить, у них не было еще геометрии как теоретической науки с ее теоремами и доказательствами. Как и арифметика того времени, геометрия была в основном набором правил, выведенных из опыта. Более того, геометрия вообще не была отделена от арифметики. Геометрические задачи были одновременно арифметическими задачами на вычисление.

В VII в. до н. э. геометрия проникла из Египта в Грецию, где ее развивали дальше великие философы-материалисты Фалес, Демокрит и другие. Значительный вклад в геометрию сделали также последователи Пифагора — основатели идеалистической религиозно-философской школы.

Развитие геометрии шло в направлении накопления новых фактов и уяснения их связей друг с другом. Эти связи превращались постепенно в логические выводы одних положений геометрии из других. Таким путем, во-первых, вырабатывалось самое понятие о геометрической теореме и ее доказательстве, а во-вторых, выяснялись те основные положения, из которых другие уже могут быть выведены, т. е. выяснялись аксиомы геометрии.

Так постепенно геометрия превращалась в математическую теорию.

Известно, что ее систематические изложения появились в Греции уже в V в. до н. э., но они не дошли до нас, очевидно, потому, что всех их вытеснили «Начала» Эвклида (III в. до н. э.). В этом произведении геометрия была представлена в виде такой стройной системы, что ничего принципиально нового к ее основам не смогли добавить до Н. И. Лобачевского, т. е. в течение более двух тысяч лет, а известный школьный учебник Киселева, как и многие другие учебники во всем мире, в старых изданиях представлял собой не что иное, как популярную переработку Эвклида. Едва ли много найдется в мире таких долговечных книг, как «Начала» Эвклида, — это совершенное творение греческого гения. Конечно, математика ушла вперед и наше понимание оснований геометрии стало гораздо глубже, и все же «Начала» Эвклида были и во многом остаются образцом книги по чистой математике. В них, подводя итог предыдущего развития, Эвклид представил современную ему математику как самостоятельную теоретическую науку, т. е. так, как в конце концов понимают ее и теперь.

2. История зарождения геометрии дает основание для тех же выводов, что история зарождения арифметики. Мы видим, что геометрия возникла из практики и что ее превращению в математическую теорию предшествовал очень долгий период.

Геометрия оперируете «геометрическими-телами» и фигурами, изучает их отношения величины и взаимного расположения. Но геометрическое тело есть не что иное, как реальное тело, рассматриваемое только с точки зрения его пространственной формы, в отвлечении от прочих свойств, будь то плотность, цвет, вес и т.д. (Геометрическая фигура есть еще более общее понятие, в ней можно отвлекаться и от пространственного протяжения; так, поверхность имеет только два измерения, линия — одно, а точка вовсе не имеет измерений. Точка есть отвлеченное понятие о конце линии, о месте, уточненном до предела, так что в немуже нет частей. Так, кстати, определял все эти понятия й Эвклид.)

Таким образом, геометрия имеет своим предметом пространственные формы и отношения реальных тел, отвлеченные от всех прочих свойств, иными словами, взятые «в чистом виде». Именно этот уровень отвлеченности отличает геометрию от других наук, изучающих также пространственные формы и отношения тел. В астрономии, например, изучают взаимное расположение тел, но именно небесных тел, в геодезии — форму Земли, в кристаллографии — формы кристаллов и т. д. Во всех этих случаях изучают форму и расположение конкретных тел в связи и в зависимости от их других свойств.

Отвлечение влечет за собой умозрительный метод геометрии; с прямыми без всякой ширины, с «чистыми формами» уже нельзя ставить опыты. Остается только рассуждать, получая одни выводы из других. Поэтому геометрическая теорема должна доказываться рассуждением, иначе она не будет принадлежать геометрии, не будет относиться именно к «чистым формам».

Очевидность самих исходных понятий геометрии, приемы рассуждения, убедительность её выводов имеют то же происхождение, что и в арифметике. Свойства геометрических понятий, как и сами понятия, абстрагированы человеком из окружающей природы. Люди много раз проводили прямые линии, прежде чем смогли осознать как аксиому, что через всякие две точки можно провести прямую; миллиарды раз перемещали и прикладывали друг к другу разные предметы, прежде чем смогли обобщить это в представлении о наложении геометрических фигур и, тем более, применить это представление для доказательства теорем (как это делается в известных теоремах о равенстве треугольников).

Наконец, общность геометрии. Объем шара равен независимо от того, идет ли речь о шарообразном сосуде, о стальном шаре, о звезде, о капле и т. д. Геометрия смогла выделить общее всем телам, потому что

всякое реальное тело имеет более или менее определенные форму, размеры, положение относительно других тел. Не мудрено поэтому, что она применяется почти так же широко, как арифметика. Рабочий, измеряющий размеры детали или читающий чертеж, артиллерист, определяющий расстояние до цели, колхозник, измеряющий площадь посева, строитель, оценивающий объем земляных работ, — все они пользуются начатками геометрии. Штурман, астроном, геодезист, инженер, физик нуждаются в очень тонких ее выводах.

Яркий пример отвлеченно-геометрического решения важной задачи естествознания представляют исследования знаменитого кристаллографа и геометра Е. С. Федорова. Задача иайти все возможные виды симметрии кристаллов, которую он перед собой поставил, является одной из основных в теоретической кристаллографии. Для решения этой задачи Федоров отвлекся от всех физических свойств кристалла, рассматривая его только как правильную систему геометрических тел (вместо системы конкретных атомов). Таким образом, речь идет о нахождении всех видов симметрии какие только могут быть у системы геометрических тел. Этот чисто геометрический вопрос Федоров решил до конца и нашел все виды симметрии - их оказалось 230. Вместе с тем решение задачи о возможных видах симметрии явилось крупным вкладом в геометрию и послужило началом многих геометрических исследований.

На этом примере, как на всей истории геометрии, мы видим главную движущую силу ее развития. Это — взаимодействие практики и отвлеченного мышления. Возникшая из наблюдения кристаллов задача о их симметрии ставится отвлеченно и порождает новую математическую теорию — теорию правильных систем, или так называемых федоровских групп. Потом сама эта теория не только находит блестящее подтверждение в наблюдении кристаллов, но служит общим руководством в развитии кристаллографии и порождает новые, как экспериментальные, так и чисто математические, исследования.