§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Ряд важных для практики вопросов связан с такой задачей: не решая уравнения, получить те или иные сведения относительно расположения его корней на комплексной плоскости. Первым таким вопросом был вопрос об определении числа действительных корней уравнения. То есть, если задано уравнение с действительными коэффициентами, то, не решая его, по какому-нибудь признаку, зависящему от его коэффициентов, сказать, имеет ли оно действительные корни, и если имеет, то сколько; или сколько имеет положительных и сколько отрицательных корней; или сколько оно имеет действительных корней, лежащих между заданными пределами а и

Производные от многочлена.

В этом параграфе существенную роль будет играть производная от многочлена. Что такое производная от данной функции, было изложено в главе II.

Для многочлена производная равна, как известно, многочлену

Понятие производи в главе II было рассмотрено лишь для функций от действительной переменной. В алгебре необходимо считать переменную принимающей произвольные комплексные значения и вводить, в рассмотрение многочлены с комплексными коэффициентами.

Однако определение производной можно сохранить прежнее — как предел отношения приращения функции к приращению независимой

переменной. Формула для вычисления производной от многочлена с комплексными коэффициентами, а также основные правила дифференцирования (производная суммы, произведения, степени) остаются прежними.