Глава II. АНАЛИЗ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Возникновение в конце средних веков новых производственных отношений в Европе, зарождение капитализма, шедшего тогда на смену феодальному строю, сопровождалось великими географическими открытиями и исследованиями. В 1492 г., основываясь на идее шарообразности Земли, Колумб открыл Новый Свет. Открытие Колумба широко раздвинуло рамки известного тогда мира и произвело переворот в умах людей. В конце 1400-х и начале 1500-х годов творили великие художники-гуманисты Леонардо да Винчи, Рафаэль, Микельанджело, обновляя искусство. В 1543 г. было опубликовано сочинение Коперника «Об обращении небесных кругов», совершенно видоизменившее лицо астрономии; в 1609 г. появилась «Новая астрономия» Кеплера, содержащая 1 и 2-й законы движения планет вокруг Солнца, а в 1618 г. - его книга «Гармонии мира», содержащая 3-й закон. Галилей, отправляясь от изучения творений Архимеда и смелых опытов, начал создавать новую механику, совершенно необходимую нарождавшейся тогда технике. В 1609 г. Галилей направил построенный им небольшой и несовершенный телескоп на ночное небо. Одного взгляда в телескоп было достаточно, чтобы разрушить идеальные небесные сферы Аристотеля и догмат о совершенстве небесных тел. Поверхность Луны оказалась покрытой горами и изрытой кратерами. Венера обнаружила фазы, как у Луны, Юпитер оказался окруженным четырьмя спутниками и давал как бы небольшую наглядную модель солнечной системы. Млечный путь распался на отдельные звезды, и впервые была почувствована - поражающе огромная удаленность звезд. Никогда научное открытие не производило такого впечатления на культурный мир.

Развитие дальнего мореплавания и вызванные им исследования астрономов, а также развитие новой техники и связанное с этим развитие механики сделали совершенно необходимым поиски способов решения множества

возникавших тогда новых математических задач. Новизна этих задач состояла главным образом в том, что пришлось подвергать математическому изучению законы движения в широком смысле этого слова.

Природе чуждо состояние покоя и неподвижности. Вся природа, как отмечал Ф. Энгельс, начиная от мельчайших частиц ее до величайших тел, находится в вечном возникновении и уничтожении, в непрерывном течении, в неустанном движении и изменении. Каждая естественная наука изучает в конечном итоге те или иные стороны, те или иные формы этого движения. Математический анализ — раздел математики, дающий методы для количественного исследования разных процессов изменения, движения, зависимости одних величин от других. Неслучайно поэтому, что он возник в период, когда развитие механики и астрономии, побуждаемое вопросами техники и мореплавания, привело уже к достаточному накоплению наблюдений, измерений, гипотез и вплотную подвело науку к количественному исследованию простейших форм движения.

Само название «анализ бесконечно малых» ничего не говорит о предмете изучения, но зато подчеркивает метод, которым оперируют в этом отделе математики. Речь идет о специальном математическом методе бесконечно малых или в его современном виде — о методе пределов. Мы сразу приведем типичные примеры рассуждений, использующих метод пределов, а в одном из следующих параграфов уточним необходимые понятия.

Пример 1. Как экспериментально установил Галилей, путь проходимый свободно падающим в пустоте телом за время выражается формулой

— постоянная величина, равная . Какова же скорость падающего тела в каждой из точек его пути?

Пусть тело проходит через точку А в момент времени Рассмотрим, что произойдет затем за небольшой промежуток времени длительности , т. е. за время от до . Пройденный путь получит некоторое приращение Прежний путь увеличенный путь

Отсюда находим приращение

Оно представляет собой путь, пройденный за время от до . Для нахождения средней скорости на участке пути разделим на

Заставляя приближаться к нулю, мы будем получать средние скорости, неограниченно приближающиеся к истинной скорости в точке А. С другой стороны, мы видим, что второе слагаемое в правой части последнего равенства становится с уменьшением исчезающе малым, так что стремится при этом к величине что принято записывать так:

Следовательно, и есть истинная скорость в момент времени

Пример 2. Резервуар, имеющий квадратное дно со стороной а и вертикальные стенки высотой наполнен до краев водой (рис. 1). С какой общей силой давит вода на одну из стенок резервуара?

Рис. 1.

Разделим поверхность стенки на горизонтальных полосок высотой Давление в каждой точке сосуда равно, как известно, напору вышележащего столба жидкости. Поэтому у нижнего края каждой из полосок давление, выраженное в соответствующих единицах, будет равно соответственно: . Мы получим приближенное выражение искомой силы Р, если будем считать давление в пределах каждой полоски постоянным. Таким образом, приближенное значение Р равно

Для отыскания истинной величины силы будем совершать разбиение на все более узкие полоски, неограниченно увеличивая . С ростом величина — в последней формуле будет становиться все меньше и меньше, и в пределе мы получим точную формулу

Идея метода пределов проста и заключается в следующем. Чтобы определить некоторую величину, мы определяем сначала не ее самое, а некоторое ее приближение. При этом строится не одно приближение, а целый ряд приближений, все более и более точных. Затем из рассмотрения

цепи этих приближений, т. е. из рассмотрения самого процесса приближения, определяется уже единственным образом точное значение величины. Этим по существу глубоко диалектическим методом устойчивое, постоянное познается как результат процесса, движения.

Математический метод пределов выработан в результате упорного труда многих поколений над задачами, которые не могли быть решены простыми приемами арифметики, алгебры и элементарной геометрии.

Каковы же были задачи, при решении которых складывались основные понятия анализа, какие приемы решения этих задач были созданы?

Математики 1600-х годов постепенно обнаружили, что большое число задач по исследованию разного рода движений и зависимостей одних величин от других, а также геометрических задач, не поддававшихся ранее решению, сводится к двум типам. Наиболее яркими и простыми примерами задач первого типа являются: вопрос нахождения скорости в данный момент при неравномерном движении и аналогичные ему вопросы о скорости изменения величин, а также задача о проведении касательной к кривым линиям. Эти задачи (к ним относится наш первый пример) при-вели к разделу анализа, получившему название «дифференциального исчисления». Простейшими примерами второго типа задач служат задачи на отыскание площади криволинейных фигур, суммарного пути, пройденного при неравномерном движении, вообще суммарного итога действия непрерывно изменяющейся величины (таким является второй из приведенных выше примеров). Эта группа задач привела к другому разделу анализа — интегральному исчислению. Так выделились две основные задачи: задача о касательных и задача о квадратурах.

В этой главе будет подробно описано, какие идеи были положены в основу решения обеих этих задач. Особенно важной оказалась теорема Ньютона и Лейбница о том, что задача о квадратурах есть в известном смысле обращение задачи о касательных. Для решения же задачи о касательных и для решения задач, которые к ней сводятся, был найден удобный и совершенно общий вычислительный алгорифм — общий способ, заведомо ведущий к решению, — метод производных, метод дифференцирования.

История создания и развития анализа и роль, которую в его зарождении сыграла созданная Декартом аналитическая геометрия, уже были описаны в главе I. Мы видим, что за вторую половину 1600-х и первую половину 1700-х годов произошло полное видоизменение всей математики. К имевшимся ее разделам — арифметике, элементарной геометрии, началам алгебры и тригонометрии — были добавлены такие общие методы, как аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление и интегральное исчисление с теорией простейших дифференциальных уравнений. Теперь оказалось возможным решать задачи, о решении которых раньше нельзя было и мечтать.

Оказалось, что, если закон кривой линии не слишком сложный, то можно всегда построить к ней касательную в любой ее точке, — стоит лишь вычислить при помощи правил дифференциального исчисления так называемую производную, что во многих случаях потребует лишь нескольких минут. До того умели только проводить касательные к окружности и еще к двум-трем кривым и совершенно не ожидали, что есть общее решение задачи.

Если известен путь, проходимый точкой за любое данное время, то тем же способом можно сейчас же найти скорость точки в любой данный момент или ее ускорение. Обратно, по ускорению можно найти скорость и путь, применяя обращение дифференцирования — так называемое интегрирование. Отсюда нетрудно было, зная геометрические свойства эллипса, показать, что из ньютоновых законов движения и закона всемирного тяготения следует, что планеты должны двигаться вокруг Солнца по эллипсам согласно законам Кеплера.

Важнейшее значение в практике имеет вопрос о наибольших и наименьших величинах, так называемые задачи на максимум и минимум. Возьмем пример: из круглого бревна данного радиуса надо вытесать балку прямоугольного сечения такую, чтобы она была возможно более прочна на прогиб. С каким соотношением сторон ее следует сделать? Небольшое рассуждение о прочности балки прямоугольного сечения (с применением простых соображений интегрального исчисления), а затем решение задачи на максимум (для чего придется воспользоваться вычислением производной) дают ответ, что наибольшая прочность будет достигнута при прямоугольном сечении, высота которого относится к основанию, как . Задачи на максимум и минимум решаются так же просто, как задачи на проведение касательной.

В разных местах кривой линии, если она не прямая и не окружность, изогнутость кривой, вообще говоря, разная. Как вычислить радиус тон окружности, которая так же изогнута, как данная линия около данной ее точки, — так называемый радиус кривизны кривой линии в данной ее точке? Оказывается, что и это столь же просто; надо только два раза применить операцию дифференцирования. Радиус кривизны играет большую роль во многих вопросах механики.

До изобретения новых исчислений умели находить только площадь многоугольников, круга, его сектора и сегмента и еще двух — трех фигур. Кроме того, еще Архимед дал способ вычислять площадь сегмента параболы. Способ, который он при этом употреблял, был основан на специальных свойствах параболы и был весьма остроумен. Это достижение Архимеда заставляло думать, что каждая новая задача на вычисление площади, пожалуй, потребует опять своих и еще более остроумных и трудных изысканий. Каково же было восхищение математиков, когда, оказалось, что теорема Ньютона — Лейбница о том, что обращение задачи о касательных решает задачу о квадратурах, сейчас же делает возможным

вычислять площади, ограниченные самыми различными кривыми. Выяснилось, таким образом, что есть общий способ, годный для бесчисленного множества самых разных фигур. То же касается вычисления объемов, поверхностей, длин кривых, масс неоднородных тел и т. д.

Еще большего достиг новый метод в механике. Казалось, не было такого вопроса механики, которого новые исчисления не осветили бы и не решили.

Незадолго перед тем Паскаль объяснил возрастание величины торричеллиевой пустоты с подъемом на гору, как следствие уменьшения атмосферного давления при подъеме. Но по какому закону уменьшается это давление? Вопрос сейчас же решается путем исследования простого дифференциального уравнения.

Морякам хорошо известно, что стоит обернуть канат вокруг причального шпиля один — два раза, и уже один человек может удержать большой корабль у причала. Почему это? Оказалось, что задача математически почти совершенно тождественна предыдущей и решается сразу.

Так за созданием анализа последовал период бурного развития его приложений в самых различных областях техники и естествознания. Созданный путем отвлечения от особенностей частных задач, математический анализ отражает тем самым совершенно реальные и глубокие свойства материального мира и именно потому становится средством исследования такого широкого круга вопросов. Механическое движение твердых тел, движение жидкостей и газов, движение их отдельных частиц и законы течения их масс, тепловые и электрические процессы, ход химических реакций и т. д., все эти явления исследуются соответствующими науками с широким использованием аппарата математического анализа.

Одновременно с расширением области своих приложеиий неизмеримо обогащается и сам анализ; возникают и совершенствуются такие его разделы, как теория рядов, приложения анализа к геометрии, теория дифференциальных уравнений.

У математиков середины 1700-х годов было очень распространено мнение, что любую задачу естествознания, если только удастся ее математически осмыслить, т. е. найти правильное ее математическое описание, можно решить при помощи аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления.

Постепенно начали приходить к более сложным задачам естествознания и техники, потребовавшим развития указанных методов. Для решения этих задач были последовательно созданы дальнейшие отделы математики: вариационное исчисление, теория функций комплексного переменного, теория поля, интегральные уравнения, функциональный анализ, которые решают эти новые классы задач. Но все эти новые исчисления по существу являются непосредственным продолжением и обобщением знаменитых исчислений

открытых в XVII веке. Величайшие математики XVIII века Д. Бернулли (1700—1782), Л. Эйлер (1707—1783) и Лагранж (1736—1813), прокладывая новые пути в науке, постоянно исходили из насущных задач точного естествознания. Энергичное развитие анализа продолжалось и в XIX веке, в котором жили и творили такие знаменитые математики, как Гаусс (1777-1855), Коши (1789—1857), М. В. Остроградский (1801— 1861), П. Л. Чебышев (1821—1894), Риман (1826—1866), Абель (1802— 1829), Вейерштрасс (1815—1897), внесшие весьма значительный вклад в развитие математического анализа.

Гениальный русский математик Н. И. Лобачевский также оказал влияние на развитие некоторых вопросов математического анализа.

Отметим еще крупнейших математиков, живших на рубеже ХХ и XX века: А. А. Маркова (1856—1922), А. М. Ляпунова (1857—1918), А. Пуанкаре (1854—1912), Ф. Клейна (1849—1925), Д. Гильберта (1862— 1943).

Во второй половине XIX века происходит глубокий критический пересмотр и уточнение самих основ анализа. Накопившиеся вся разнообразные и сильные методы анализа получают единое систематическое обоснование, соответствующее возросшему уровню математической строгости. Все это — методы, которыми, наряду с арифметикой, алгеброй, геометрией и тригонометрией, человек математически осмысливает окружающий его мир, описывает происходящие явления и решает связанные с ними важные для практики вопросы.

Особенно полного всестороннего развития и широких масштабов применения анализ достиг вместе со всей математической наукой у нас после Великой Октябрьской социалистической революции.

Аналитическая геометрия, дифференциальное, интегральное исчисления и теория дифференциальных уравнений изучаются во всех втузах, так что эти области математики известны в Советском Союзе миллионам людей; начальные сведения по этим наукам даются во многих техникумах; ставится вопрос об изучении их в средней школе.

В самое последнее время употребление больших быстродействующих математических вычислительных машин создает новый перелом в математике. Эти машины в соединении со всеми выше названными разделами математики дают новые необыкновенные возможности человеку.

Сейчас анализ с возникшими из него разделами представляет собой широко разветвленную математическую науку, состоящую из тесно связанных между собой обширных самостоятельных дисциплин. Каждая из них совершенствуется и движется вперед, причем значительная часть этих успехов принадлежит советским ученым.

Больше чем когда-либо раньше ведущей силой анализа являются запросы жизни, задачи, связанные с грандиозным развитием техники. На очереди стоят и постепенно с успехом решаются математические проблемы аэродинамики сверхзвуковых скоростей. Труднейшие задачи математической физики переходят сейчас в такую стадию, когда они смогут

получать практические численные решения. В современной физике такие теории, как квантовая механика (а с ней связаны вопросы понимания явлений микромира), не только нуждаются для решения своих задач в самых высших частях современного математического анализа, но и не могли бы без его средств формулировать своих основных понятий.

Настоящая глава имеет целью в популярной форме познакомить читателя, знающего только элементарную математику, с возникновением и простейшими приложениями таких основных начальных понятий анализа, как функция, предел, производная и интеграл. Специальным разделам анализа будут посвящены другие главы этой книги. Соответственно глава эта носит более элементарный характер, и читатель, уже знакомый с обычным курсом анализа, может пропустить ее без ущерба для понимания дальнейшего.