§ 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
До сих пор мы говорили о функциях одной переменной, но на практике часто приходится иметь дело также с функциями, зависящими от двух, трех и вообще многих переменных. Например, площадь прямоугольника есть функция
его основания х и высоты у. Объем прямоугольного параллелепипеда есть функция
от трех его измерений. Расстояние между двумя точками Л и В есть функция
от шести координат этих точек. Известная формула
выражает зависимость объема 
определенного количества газа от его давления 
и абсолютной температуры Т.
Функции многих переменных, как и функции одной переменной, задаются обычно лишь для некоторой области значений самих переменных. Например, функция
задана только при значениях х, 
удовлетворяющих условию
(При других х, у, z ее значения не являются действительными числами). Совокупность точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству (35), заполняет, очевидно, шар единичного радиуса с центром в начале координат. Точки границы не причисляются к шару, с него как бы «содрана» его поверхность. Такой шар называют открытым. Функция (34) определена только для таких троек чисел 
которые являются,
координатами точек этого открытого шара 
Коротко принято говорить, что функция (34) определена на шаре 
Вот еще другой пример. Температура неравномерно нагретого тела V есть некоторая функция координат 
точек этого тела. Эта функция задана не для всех троек чисел х, у, z, а только для таких троек, которые являются координатами точек нашего тела V.
Наконец, в качестве третьего примера рассмотрим функцию
где 
— функция одной переменной, определенная на отрезке [0, 1]. Очевидно функция и задана только для троек 
чисел, являющихся координатами точек, заполняющих куб:
Дадим определение функции трех переменных. Пусть задано множество Е троек чисел 
(точек пространства). Если каждой тройке (точке) Е в силу некоторого закона соответствует определенное число и, то говорят, что и есть функция от 
(от точкй), определенная на множестве троек (точек) Е, что записывается так:
Вместо F можно писать другие буквы: 
На практике в качестве множества Е фигурируют обычно множества точек, заполняющих некоторое геометрическое тело (область): шар, куб, кольцо ит. д., и тогда просто говорят, что функция определена на этом теле (области). Аналогично определяются функции двух, четырех и т. д. переменных.
