§ 5. ЭПОХА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

1. Развитие математики не сводится к простому накоплению новых теорем, но включает существенные, можно сказать, качественные изменения математики. Эти качественные изменения происходят, однако, не в порядке ломки и отмены существующих теорий, но в порядке их углубления и обобщения, в порядке появления новых обобщающих теорий, подготовленных предшествующим развитием.

С самой общей точки зрения в истории математики можно отметить четыре основных, качественно различных этапа. Конечно, точное разграничение этих этапов невозможно, потому что существенные черты каждого следующего из них складывались более или менее постепенно, но различие этих этапов и переходы между ними обозначаются вполне отчетливо.

Первый этап (или период) — это период зарождения математики как самостоятельной и чисто теоретической науки. Он тянулся с древнейших времен и закончился к V в. до н. э., если на раньше, когда в Греции сложилась, наконец, «чистая» математика с ее логической связью теорем и доказательств (в V в. до н. э. появились, в частности, систематические изложения геометрии, например, «Начала» Гиппократа Хиосского). Этот период был периодом формирования арифметики и геометрии, и мы уже достаточно подробно его рассмотрели. Тогда математика складывалась как непосредственно связанная с практикой совокупность отдельных правил, выведенных из опыта. Эти правила не образовывали еще единой логически связанной системы. Теоретический характер математики с её логическим доказательством теорем складывался очень медленно, по мере накопления материала. Арифметика и геометрия не были разделены, но тесно переплетались друг с другом.

Второй период можно характеризовать как период элементарной математики, математики постоянных величин; основные, простейшие его результаты составляют теперь содержание школьного курса. Этот период продолжался около двух тысяч лет и закончился в XVII в. с возникновением «высшей» математики. На этом периоде мы подробнее остановимся в этом параграфе. Следующие параграфы будут посвящены третьему и четвертому периодам — эпохе создания и развития анализа и периоду современной математики.

2. Период элементарной математики можно в свою очередь разделить на две части, различающиеся их основным содержанием: период развития геометрии (до II в. н. э.) и период преимущественного развития алгебры (от II до XVII в.). По историческим же условиям он делится на три периода, которые можно назвать «греческим», «восточным» и «европейским эпохи Возрождения». Греческий период совпадает по времени с общим расцветом греческой культуры; восходя началом к VII в. до н. э., он достиг своей вершины в III в. дон. з., во времена величайших геометров древности Эвклида, Архимеда, Аполлония, и закончился к VI в. н. э. Математика, особенно геометрия, достигла в Греции удивительного расцвета; нам известны имена и результаты очень многих греческих математиков , хотя до нас дошли только немногие из их подлинных сочинений. При этом стоит заметить, что Рим, достигший расцвета к I в. н. э., не дал в математике ничего, в то время как в порабощенной им Греции наука еще процветала.

Рис. 4.

Греки не только развили и привели в стройную систему элементарную геометрию в том объеме, в каком она дана в «Началах» Эвклида и преподается теперь в школах, но достигли гораздо больших результатов. Так, они изучили конические сечения: эллипс, гиперболу и параболу; доказали некоторые теоремы, относящиеся к началам так называемой проективной геометрии; разработали, руководствуясь потребностями астрономии , геометрию на сфере (I в. н. э.), а также начала тригонометрии и вычислили первые таблицы синусов (Гиппарх — II век н. э. и Клавдий Птолемей — II в. н. э.; определили ряд площадей и объемов сложных фигур, например, Архимед определил площадь сегмента параболы, доказав, что она составляет 2/3 площади прямоугольника, содержащего этот сегмент (рис. 4). Грекам была известна даже, например, такая теорема, что из всех тел с данной площадью поверхности наибольший объем имеет шар, но доказательства ее не сохранилось, и едва ли греки владели полным ее доказательством, столь оно трудно; оно было впервые найдено в XIX в. посредством интегрального исчисления.

В области арифметики и начал алгебры греки также дали немало. Они, как уже было упомянуто раньше, положили начало теории чисел. Сюда относятся, например, их исследования о простых числах (теорема Эвклида о существовании бесконечного множества простых чисел и «решето

Эратосфена» для нахождения простых чисел), а также решение уравнений в целых числах (Диофант, около 246-330 гг. н. э.).

Мы говорили уже, что греки открыли иррациональные величины, но рассматривали их геометрически, как отрезки. Поэтому задачи, которые мы теперь рассматриваем алгебраически, греки рассматривали геометрически. Так они решали квадратные уравнения и преобразовывали иррациональные выражения. Например, уравнение, которое мы пишем теперь в виде , читалось так: найти такой отрезок х, что если к построенному на нем квадрату приложить прямоугольник, построенный на том же отрезке и данном отрезке а, получим прямоугольник, равновеликий данному квадрату. Господство геометрии продолжалось долгое время после греков. Греки знали также способы извлечения квадратного и кубического корней, свойства арифметических и геометрических прогрессий.

Таким образом, у греков, был уже большой материал из современной элементарной алгебры, но не хватало главного: отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел в отвлечении от всякой геометрии и, наконец, развитой системы буквенных обозначений. Впрочем, Диофант уже употреблял буквенные обозначения для неизвестной и ее степеней, а также специальные знаки сложения, вычитания, равенства, поэтому он писал алгебраические уравнения, однако еще только с конкретными численными коэффициентами.

В геометрии греки вплотную подошли к «высшей» математике: Архимед — к интегральному исчислению в вычислении площадей и объемов, Аполлоний — к аналитической геометрии в своих исследованиях о конических сечениях. Он фактически дает уравнения этих кривых, но выражает их геометрическим языком. Однако у них не было еще ни общих понятий произвольной постоянной и переменной величины, ни той необходимой формы — буквенных обозначений алгебры, которые появилась совсем в другую зпоху и которые только и могли превратить их исследования в источник новых теорий, входящих уже в высшую математику. Создатели этих теорий тысячу лет спустя отправлялись в большой мере от наследия греческих ученых. Сочинение Декарта «Геометрия» (1637), кладущее начало аналитической геометрии, как раз начинается с разбора задач, оставленных греками.

Таков общий закон. Старые теории, порождая новые и глубокие задачи, как бы перерастают сами себя и требуют тогда для дальнейшего развития новых форм, новых идей. Эти новые формы и идеи для своего возникновения могут требовать иных условий. В античном обществе не было и не могло быть условий для перехода к высшей математике; они наступили с развитием естествознания, в новое время, а это развитие в свою

очередь было обусловлено в XVI—XVII вв. новыми потребностями техники и промышленности и было связано, таким образом, с зарождением и развитием капитализма.

Греки как бы исчерпали возможности элементарной геометрии, и этим надо объяснить тот факт, что блестящий прогресс геометрии иссяк к началу нашей эры и сменился развитием тригонометрии и алгебры в работах Птолемея, Диофанта и др. Как раз работы Диофанта можно считать началом того периода, когда ведущей становится алгебра. Но шедшее к своему закату античное общество уже не могло двигать науку дальше в этом новом направлении.

Надо отметить, что уже за несколько веков до этого в Китае арифметика достигла высокого уровня. Китайскими учеными во II—I вв. до н. э. описываются Правила арифметического решения системы трех уравнений первой степени. При этом впервые в истории используются отрицательные коэффициенты и формулируются правила действия с отрицательными количествами. (Сами решения они, однако, искали только положительные, так же, как это позже делал Диофант.) В тех же книгах уже фигурирует способ извлечения квадратных и кубических корней.

3. С концом греческой науки в Европе наступил научный застой, и центр развития математики переместился в Индию, Среднюю Азию и арабские страны. Здесь на протяжении тысячи лет, с V по XV в., математика развилась главным образом в связи с потребностями вычислений, в частности для астрономии; математики Востока по большей части были также астрономами. Ими, правда, почти ничего не было прибавлено значительного к греческой геометрии; в этой науке они лишь сохранили для последующих времен творения греков. Зато индийскими, арабскими и среднеазиатскими математиками были достигнуты громадные успехи в области арифметики и алгебры.

Индийцы, как уже говорилось в § 2, изобрели современную систему счисления. Они ввели также отрицательные числа, связывая противоположение положительных и отрицательных чисел с противоположением имущества и долга или двух направлений на прямой. Они, наконец, начали оперировать с иррациональными количествами так же, как с рациональными, без геометрического их представления, в отличие от греков.

У них были также специальные обозначения для алгебраических действий, включая извлечение корня. Именно благодаря тому, что индийские и среднеазиатские ученые не смутились различием иррациональных и рациональных количеств, они смогли преодолеть «засилие» геометрии, характерное для греческой математики, и открыли путь развитию настоящей алгебры, свободной от тяжеловесной геометрической оболочки, в которую она была втиснута греками.

Великий поэт и математик Омар Хайям (ок. 1048-1122) и Насирзддин Туси явно указывали, что каждое отношение величин, все равно соизмеримых или несоизмеримых, может быть названо числом; тем самым у них мы находим уже то общее определение числа (как рационального, и иррационального), которое в формулировке Ньютона было приведено выше, в § 4. Величие этих достижений становится особенно ясным, если заметить, что полное признание отрицательных и иррациональных чисел всеми европейскими математиками было достигнуто очень нескоро, даже после того, как в Европе началось возрождение математики. Еще, например, знаменитый французский математик Виет (1540—1603), которому алгебра многим обязана, избегал отрицательных чисел, а в Англии протесты против отрицательных чисел раздавались даже в XVIII в. Числа эти считались нелепыми, так как они меньше нуля, т. е. «меньше чем ничто». Теперь они стали привычными хотя бы в виде отрицательной температуры; все у нас читают в газетах и понимают, что означает: «температура в Москве -8°».

Самое слово «алгебра» происходит от названия сочинения хорезмского математика и астронома Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (Мухаммеда сына Мусы из Хорезма), жившего в IX в.; его сочинение по. алгебре называлось «Альджебр альмукабала», что означает «восстановление и противоположение». Под восстановлением — альджебр — понималось перенесение отрицательных членов в другую часть уравнения, а под противоположением — альмукабала — отбрасывание в обеих частях равенства равных членов.

Арабское слово «альджебр» при переводе на латинский язык превратилось в algebra, а альмукабала была отброшена: так появилось самое название «алгебра».

Кстати, происхождение этого названия вполне отвечает содержанию самой науки. Алгебра в своей основе есть учение об арифметических действиях, рассматриваемых формально в общем виде, отвлекаясь от конкретных чисел. Ее задачи составляют в первую очередь формальные правила преобразования выражений и решения уравнений. Аль-Хорезми поставил заглавием своей книги как раз названия некоторых общих формальных правил и тем выразил дух алгебры.

Позже Омар, Хайям дал определение алгебры как науки о решении уравнений. Это определение сохраняло свое значение до конца прошлого века, когда наряду с теорией уравнений в алгебре сложились новые направления, существенно изменившие ее лицо, но не изменившие ее общего духа как общего учения о формальных действиях.

Среднеазиатские математики нашли методы извлечения корней и приближенного решения ряда уравнений, общую формулу «бинома Ньютона», хотя выражали ее словами, и др. Они сильно продвинули тригонометрию, приведя ее в систему, и вычислили очень точные таблицы синусов. Эти таблицы вычислил в связи с потребностями астрономии работавший у знаменитого узбекского астронома Улугбека [математик Гиясэддин (около 1427), который изобрел также десятичные дроби за 150 лет до их вторичного изобретения в Европе.

Словом, в течение средних веков в Индии и в Средней Азии сложились почти полностью современная десятичная система счисления (включая дроби), элементарная алгебра и тригонометрия. В тот же период начали проникать в соседние страны достижения китайской науки, где около VI в. были известны приемы решения простейших неопределенных уравнений, приближенные вычисления в геометрии и первые приемы приближенного решения уравнений третьей степени. Из материала школьного курса алгебры к XVI в. не хватало, пожалуй, только логарифмов и мнимых чисел. Кроме того, не существовало еще системыбуквенных бозначений: содержание алгебры обгоняло ее форму. Однако эта форма была необходима: отвлечение от конкретных чисел и формулирование общих правил требовали соответствующего способа выражения, нужно было обозначать любые числа и действия над ними. Алгебраическая символика является необходимой формой, отвечающей содержанию алгебры. Как в глубокой древности, чтобы оперировать с целыми числами, нужно было выработать для них обозначения, так и теперь, чтобы оперировать с произвольными числами и давать для них общие правила, нужно было выработать соответствующие обозначения. Эта задача решалась со времен греков, и ее решение было завершено лишь в XVII в., когда в трудах Декарта и других сложилась, наконец, современная система обозначений.

4. При возрождении наук европейцы учились у арабов и знакомились с греческой наукой по арабским переводам. Книги Эвклида, Птолемея, Аль-Хорезми в XII в. впервые перевели с арабского на латинский — общий научный язык Западной Европы того времени. В то же время в борьбе с прежней системой счета, идущей от греков и Рима, постепенно укрепляется в Европе индийское счисление, заимствуемое у арабов.

Только в XVI в. европейская наука, наконец, впервые превзошла достижения своих предшественников. Так, итальянцы Тарталья и Феррари решили в общем виде: первый — кубическое, второй — уравнение четвертой степени (см. главу IV). (Заметим, что, хотя эти выводы не проходят

в школе, они по уровню применяемых методов принадлежат к элементарной алгебре. К высшей алгебре нужно относить общую теорию уравнений.)

В этот же период впервые начинают оперировать с мнимыми числами (пока чисто формально, без какого-либо реального обоснования, которое выясняется гораздо позже, в начале XIX в.). Вырабатываются также современные алгебраические обозначения и, в частности, появляются (у Виета в 1591 г.) буквенные обозначения не только неизвестных, но и данных чисел: «а», «b» и т. п. Во всей этой работе по развитию алгебры принимает участие много математиков. Тогда же, кстати, появляются в Европе десятичные дроби (их изобретает нидерландский ученый Стевин и пишет о них в 1585 г.).

Наконец, Непер в Англии изобретает логарифмы как пособие для астрономических вычислений и сообщает о них в 1614 г., а Бригг вычисляет первые десятичные таблицы логарифмов, которые появляются в 1624 г.

Тогда же появляются в Европе «теория соединений» и общая формула «бинома Ньютона»; прогрессии были уже известны раньше. Таким образом, построение элементарной алгебры завершается. Вместе с этим в начале XVII в. заканчивается весь период математики постоянных величин, элементарной математики, которую теперь с небольшими добавлениями изучают в школе; арифметика, элементарная геометрия, тригонометрия, элементарная алгебра сложились к тому времени во всем существенном. Дальше следовал переход к высшей математике — математике переменных величин.

Не следует, однако, думать, будто на этом кончилось развитие элементарной математики. Оно продолжается и, например, в элементарной геометрии постоянно появлялись и появляются новые результаты. Более того, именно благодаря дальнейшему развитию математики мы более ясно осознали сущность самой элементарной математики. Однако руководящую роль в математике теперь уже приобрели понятия переменной величины, функции, предела. Задачи, идущие из элементарной математики, теперь часто не только освещаются и решаются с помощью этих понятий высшей математики и связанных с ними методов, но они подчас и не разрешимы элементарными методами. В той же связи с понятиями и методами высшей математики задачи, идущие от элементарной математики,

служат и теперь источником более общих результатов и даже теорий. Примеры тому представляет уже упомянутая теория правильных систем фигур, или задачи теории чисел, элементарные по формулировке, но вовсе не элементарные по методам их решения, о чем читатель может подробнее узнать в главе X (том 2).