Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1

Математика, ее содержание, методы и значение. Под ред. Александрова А.Д., Колмогорова А.Н., Лаврентьева М.А. М.: Изд. Академии наук СССР, 1956; т.1 – 296с.

Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.

Коллектив авторов при составления этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальными основами и путями развития.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава I. ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ
§ 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИКИ
§ 2. АРИФМЕТИКА
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ
§ 4. АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ
§ 5. ЭПОХА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 6. МАТЕМАТИКА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
§ 7. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
§ 8. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ
§ 9. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава II. АНАЛИЗ
§ 2. ФУНКЦИЯ
Графики функций.
§ 3. ПРЕДЕЛ
§ 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ
Примеры вычисления производных.
§ 6. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Производная суммы.
Производная произведения.
Производная частного.
Производная обратной функции.
Таблица производных.
Нахождение производной функции от функции.
§ 7. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Отыскание наибольших и наименьших значений функции.
Производные высших порядков.
Смысл второй производной. Выпуклость и вогнутость.
Признаки максимумов и минимумов. Исследование графиков функций.
§ 8. ПРИРАЩЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Теорема о среднем и примеры ее применения.
§ 9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Формула Тейлора.
Ряд Тейлора.
§ 10. ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл.
Связь дифференциального и интегрального исчисления.
§ 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Неявное задание функции.
Геометрическое изображение.
Частные производные и дифференциал.
Дифференцирование неявных функций.
Задачи на максимум и минимум.
Формула Тейлора.
Относительный максимум и минимум.
§ 13. ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Контурные и поверхностные интегралы.
Формула Остроградского.
§ 16. РЯДЫ
Сходимость ряда.
Ряды функций. Равномерно сходящиеся ряды.
Степенные ряды.
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 2. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ДЕКАРТА
Идея сопоставления уравнениям с двумя неизвестными линий на плоскости.
Основные задачи, решаемые аналитической геометрией, и определение аналитической геометрии.
§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
Площадь треугольника.
Отыскание точек пересечения двух линий.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНИЙ, ВЫРАЖЕННЫХ УРАВНЕНИЯМИ 1-Й И 2-Й СТЕПЕНИ
Уравнение прямой, проходящей через одну или две заданные точки.
Результат Декарта относительно уравнения 2-й степени.
§ 5. МЕТОД ДЕКАРТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 3-й и 4-й СТЕПЕНИ
Решение уравнений 3-й и 4-й степени пересечением окружности с параболой у = x^2.
§ 6. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИАМЕТРОВ НЬЮТОНА
§ 7. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
Уравнение эллипса и его фокальное свойство.
Законы движения планет.
Эллипс инерции.
Гипербола и ее фокальное свойство.
Парабола и ее директрисса.
Свойство касательной к параболе.
Директриссы эллипса и гиперболы.
Конические сечения.
Парабола как график пропорциональности квадрату и гипербола как график обратной пропорциональности.
§ 8. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Формулы преобразования координат.
Приведение любого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов.
§ 9. ЗАДАНИЕ СИЛ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТРОЙКАМИ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
Арифметизация сил, скоростей и ускорений, введенная Лагранжей.
Алгебра векторов.
Скалярное произведение и его свойства.
§ 10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
Уравнение плоскости и уравнения прямой.
Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов.
Эллипсоид.
Гиперболоиды и конус 2-го порядка.
Параболоиды.
§ 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
Эллипс как результат «сжатия» окружности.
Пример решения более сложной задачи.
Важнейшие применения аффинных преобразований
Формулы аффинных преобразований.
Ортогональные преобразования.
§ 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
§ 13. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Применение основной теоремы плоской перспективы в аэрофотосъемке.
Проективная плоскость.
Проективные отображения; основная теорема.
Проективная геометрия.
Запись проективных преобразований формулами.
§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Проективные преобразования круга в себя.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Глава IV. АЛГЕБРА (ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ)
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
Разложение многочлена на множители и формулы Виета.
Теорема о симметрических многочленах.
Работы Лагранжа.
Открытие Абеля.
Теория Галуа.
Приложение теории Галуа к вопросу о разрешимости геометрической задачи циркулем и линейкой.
Две основные нерешенные задачи, связанные с теорией Галуа.
§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
Теория комплексных чисел.
Поверхность модуля многочлена.
О возрастании модуля многочлена при удалении от начала.
Существование минимумов поверхности M.
Лемма Даламбера.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Простые и кратные корни многочлена.
Теорема Ролля и некоторые ее следствия.
Правило знаков Декарта.
Теорема Штурма.
Задача Гурвица.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1

Оглавление