Степенные ряды.

В § 9 мы назвали функцию заданную на Отрезке аналитической, если она на этом отрезке имеет производные любого порядка и если в достаточно малой окрестности произвольной точки отрезка функция разлагается в сходящийся к ней ряд Тейлора

Если ввести обозначения

то этот ряд может быть записан еще следующим образом

Всякий такой ряд, где числа зависящие от х постоянные, в математике называется степенным рядом.

Рассмотрим в качестве примера степенной ряд

члены которого образуют геометрическую прогрессию.

Мы знаем, что для всех значений х из интервала этот ряд сходится и сумма его равна

Для остальных значений х ряд расходится.

Легко видеть также, что разность между суммой ряда и суммой его первых членов выражается формулой

и если , где — положительное число, меньшее единицы, то

Отсюда видно, что стремится к нулю при неограниченном возрастании и наш ряд равномерно сходится на отрезке каково бы ни было положительное. число

Легко проверить, что функция

имеет производную порядка, равную

откуда

и сумма первых членов формулы Тейлора функции при в точности совпадает с суммой первых членов нашего ряда Мы, кроме того, знаем, что остаточный член формулы, выражаемый равенством (62), стремится к нулю при неограниченном возрастании для всех из интервала Этим показано, что ряд (61) есть ряд Тейлора своей суммы

Отметим еще один факт. Выберем на интервале сходимости нашего ряда произвольную точку Легко видеть, что для всех х, достаточно

но близких к именно таких, что для них удовлетворяется неравенство

справедливо равенство

Читатель без особого труда убедится в том, что

Следовательно, ряд (63) есть ряд Тейлора своей суммы сходящийся к ней в достаточно малой окрестности произвольной точки принадлежащей к интервалу сходимости ряда (61), и, значиг, ввиду произвольности точки есть функция, аналитическая на этом интервале.

Все эти факты, которые мы наблюдали для частного степенного ряда (61), имеют место для произвольных степенных рядов. Именно, каков бы ни был степенной ряд вида (60), где а — произвольные, расположенные по любому закону числа, ему соответствует некоторое неотрицательное число (которое, в частности, может обращаться в называемое радиусом сходимости ряда (60) и обладающее следующими свойствами:

1. Для всех значений а; из интервала который называется интервалом сходимости, ряд сходится, и его сумма представляет собой на этом интервале аналитическую фуккцию от При этом сходимость равномерна на всяком отрезке полностью принадлежащем к интервалу сходимости. Сам ряд представляет собой ряд Тейлора своей суммы.

2. На концах интервала сходимости ряд может сходиться или расходиться, в зависимости от его индивидуальных свойств. Но он заведомо расходится вне замкнутого отрезка

Предлагаем читателю рассмотреть степенные ряды.

и убедиться, что первый из них имеет радиус сходимости, равный бесконечности, второй имеет радиус сходимости, равный нулю, а третий — единице.

Согласно сделанному выше определению каждая аналитическая функция разлагается в достаточно малой окрестности любой точки, где она задана, в сходящийся к ней степенной ряд. Наоборот, из сказанного следует, что каждый степенной ряд, если его радиус сходимости не равен нулю, имеет в интервале сходимости сумму, представляющую собою аналитическую функцию.

Мы видим., таким образом, что степенные ряды органически связаны с аналитическими функциями. Можно еще сказать, что степенные ряды на интервалах их сходимости являются естественным средством представления аналитических функций, а вместе с этим и естественным средством приближения аналитических функций алгебраическими многочленами.

Например, из того, что функция - разлагается в степенной ряд

сходящийся на интервале следует, что этот ряд сходится равномерно на любом отрезке — если а это влечет возможность приближения этой функции на всем отрезке с помощью частичной суммы рассматриваемого ряда с любой наперед заданной точностью.

Допустим, что функцию требуется приблизить многочленом на отрезке с точностью до Замечаем, что для всех х из этого отрезка имеет место неравенство

и так как то искомый многочлен, приближающий рассматриваемую функцию на всем протяжении отрезка с точностью до 0,01, будет иметь вид

Отметим еще одно весьма ценное свойство степенных рядов: их всегда можно почленно дифференцировать в интервале сходимости. Этим широко пользуются для решения различных задач в математике.

Пусть например, требуется найти решение дифференциального уравнения при дополнительном условии Будем искать его решение в виде степенного ряда

В силу дополнительного условия надо считать Допуская, что этот ряд сходится, мы имеем право его почленно дифференцировать; в результате получим

Подставляя оба эти ряда в дифференциальное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

и искомое решение будет иметь вид

Известно, что этот ряд сходится для всех значений х и сумма его равна

В данном случае получилось, что сумма ряда есть уже известная нам элементарная функция. Однако это бывает не всегда: может оказаться, что полученный в результате решения задачи сходящийся степенной ряд имеет сумму, не являющуюся элементарной функцией. Таким, например, является ряд

получаемый как решение важного в приложениях дифференциального уравнения Бесселя. Таким образом, степенные ряды служат средством образования новых функций.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)